Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme
van een groep
op een groep
die bijectief is.
Men zegt dat de groepen
en
isomorf zijn en noteert:
![{\displaystyle (G,\star )\cong (H,\cdot )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee26ef99aad0551ab4cf4e7f2383295150b09f79)
De eerste isomorfismestelling voor groepen
[bewerken]
Stelling:
Laat
en
twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme
bestaat , dan is
![{\displaystyle \left(G/\mathrm {Ker} (f),\star \right)\cong \left(f(G),\cdot \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10472412341aa253b6c98bcd499e8ead10060c67)
Bewijs:
Definieer het isomorfisme
![{\displaystyle {\overline {f}}:\left(G/\mathrm {Ker} (f),\star \right)\to \left(f(G),\cdot \right):g\star \mathrm {Ker} (f)\mapsto f(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7caad75ffd9a0e33c82ffa97ec9179a0560c56)
- Is dit goed gedefinieerd?
Neem twee verschillende representanten (
en
) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een
. Dus dan wordt
.
Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
- Is
een groepsmorfisme?
![{\displaystyle {\overline {f}}\left((g_{1}\star \mathrm {Ker} (f))\star (g_{2}\star \mathrm {Ker} (f))\right)={\overline {f}}\left((g_{1}\star g_{2})\star \mathrm {Ker} (f)\right)=f(g_{1}\star g_{2})=f(g_{1})\cdot f(g_{2})={\overline {f}}\left(g_{1}\star \mathrm {Ker} (f)\right)\cdot {\overline {f}}\left(g_{2}\star \mathrm {Ker} (f)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdf0c5fd240419a9e3358728ffcc2cb902d8aa3)
Dus is
een groepsmorfisme
- Is
bijectief?
is injectief, want neem
met
, dan geldt dat
voor een zekere
en dus is
.
is surjectief, want zij
, dan is er een
, en dus geldt:
.
Van een groep
is de automorfismengroep de verzameling
.
Mrn kan eenvoudig controleren dat dit een groep is.
Construeer nu voor elke
de afbeelding
gedefinieerd door.
.
Aangezien de groep
niet abels hoeft te zijn is dit in het algemeen niet de identieke afbeelding, maar ze lijkt wel sterk daarop. Het zal blijken dat
.
is een groepsmorfisme
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{g}(x\star y)&=g\star x\star y\star g^{-1}\\&=g\star x\star g^{-1}\star g\star y\star g^{-1}\\&=I_{g}(x)\star I_{g}(y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee37fd2b7c56deaca1adcb7ef1f1f6f5eb757767)
is injectief
Stel dat
![{\displaystyle I_{g}(x)=I_{g}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5c550f2de6e9bfcbb24755150abd27fc9ee48d)
dus
![{\displaystyle g\star x\star g^{-1}=g\star y\star g^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34e7bbe60a0de095897b09197ac377df89291fb)
Dan volgt
![{\displaystyle x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409a91214d63eabe46ec10ff3cbba689ab687366)
is surjectief
Laat
, dan geldt voor
:
![{\displaystyle I_{g}(x)=g\star x\star g^{-1}=g\star g^{-1}\star z\star g\star g^{-1}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c82d0701fae903ca409d78b2561dcc655d82b27)
Inderdaad is
; we noemen
een inwendig automorfisme.
Definieer de afbeelding
door:
![{\displaystyle I(g)=I_{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b13ca2b4646eae60734645657b64ed3af8a7d5)
We vragen ons af of
een groepsmorfisme is, m.a.w. is
?
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{g_{1}\star g_{2}}(x)&=g_{1}\star g_{2}\star x\star (g_{1}\star g_{2})^{-1}\\&=g_{1}\star g_{2}\star x\star g_{2}^{-1}\star g_{1}^{-1}\\&=I_{g_{1}}(g_{2}\star x\star g_{2}^{-1})\\&=I_{g_{1}}\circ I_{g_{2}}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e6a77a2276c42a2d47ccfbcf26bb0f973e12db)
Wat is de kern van
?
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ker} (I)&=\{g\in G|I_{g}=\mathrm {id} _{G}\}\\&=\{g\in G|\forall x\in G:g\star x\star g^{-1}=x\}\\&=\{g\in G|\forall x\in G:x\star g=g\star x\}\\&=Z(G)\ ({\text{het centrum van }}G)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85c8c2f3e8785d499e67c0c0368f5ffe518b1be)