Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme
van een groep
op een groep
die bijectief is.
Men zegt dat de groepen
en
isomorf zijn en noteert:

De eerste isomorfismestelling voor groepen[bewerken]
Stelling:
Laat
en
twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme
bestaat , dan is

Bewijs:
Definieer het isomorfisme

- Is dit goed gedefinieerd?
Neem twee verschillende representanten (
en
) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een
. Dus dan wordt
.
Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
- Is
een groepsmorfisme?

Dus is
een groepsmorfisme
- Is
bijectief?
is injectief, want neem
met
, dan geldt dat
voor een zekere
en dus is
.
is surjectief, want zij
, dan is er een
, en dus geldt:
.
Geavanceerd voorbeeld[bewerken]
neem de groep
en creëer daaruit de verzameling
, dan is
de automorfismengroep van
. We kunnen eenvoudig controleren dat dit een groep is.
Construeer nu
de afbeelding

Aangezien de groep
niet abels hoeft te zijn is dit zeker niet de identieke afbeelding maar ze lijkt wel sterk op de identieke. We controleren eerst als
.
Is
een groepsmorfisme?

Is
injectief?

Is
surjectief?
- We vragen ons af als
.

We hebben dus dat
, we noemen
een inwendig automorfisme.
Nu we weten dat
kunnen we een afbeelding definiëren

We vragen ons af als
een groepsmorfisme is, m.a.w. is
?

Als we de kern van
berekenen, dan krijgen we het volgende:
