Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

Definities

Definitie:
Een homomorfisme is een afbeelding $h$ van een groep $(G, ⋆)$ in een groep $(H, \cdot)$ met de eigenschap dat voor alle $g_{1}, g_{2} \in G$ geldt:

h (g_{1} ⋆ g_{2}) = h (g_{1}) \cdot h (g_{2})

;

d.w,z. de afbeelding is compatibel met de groepsbewerkingen.

Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme $h$ van een groep $(G, ⋆)$ op een groep $(H, \cdot)$ die bijectief is.

Men zegt dat de groepen $(G, ⋆)$ en $(H, \cdot)$ isomorf zijn en noteert:

(G, ⋆) ≅ (H, \cdot)

De eerste isomorfismestelling voor groepen

Stelling:
Laat $(G, ⋆)$ en $(H, \cdot)$ twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme $f : (G, ⋆) \to (H, \cdot)$ bestaat , dan is

(G / K e r (f), ⋆) ≅ (f (G), \cdot)

Bewijs:
Definieer het isomorfisme

\overline{f} : (G / K e r (f), ⋆) \to (f (G), \cdot) : g ⋆ K e r (f) \mapsto f (g)

Is dit goed gedefinieerd?

Neem twee verschillende representanten ( $g_{1}$ en $g_{2}$ ) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een $k \in K e r (f) : g_{1} = g_{2} ⋆ k$ . Dus dan wordt

\overline{f} (g_{1} ⋆ K e r (f)) = f (g_{1}) = f (g_{2} ⋆ k) = f (g_{2}) \cdot f (k) = f (g_{2}) = \overline{f} (g_{2} ⋆ K e r (f))

.

Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.

Is $\overline{f}$ een groepsmorfisme?: $\overline{f} ((g_{1} ⋆ K e r (f)) ⋆ (g_{2} ⋆ K e r (f))) = \overline{f} ((g_{1} ⋆ g_{2}) ⋆ K e r (f)) = f (g_{1} ⋆ g_{2}) = f (g_{1}) \cdot f (g_{2}) = \overline{f} (g_{1} ⋆ K e r (f)) \cdot \overline{f} (g_{2} ⋆ K e r (f))$

Dus is $\overline{f}$ een groepsmorfisme

Is $\overline{f}$ bijectief?

$\overline{f}$ is injectief, want neem $g_{1}, g_{2} \in G$ met $f (g_{1}) = f (g_{2})$ , dan geldt dat $g_{1} = g_{2} ⋆ k$ voor een zekere $k \in K e r (f)$ en dus is $g_{1} ⋆ K e r (f) = g_{2} ⋆ K e r (f)$ .

$\overline{f}$ is surjectief, want zij $h \in f (G)$ , dan is er een $g \in G : f (g) = h$ , en dus geldt: $\overline{f} (g ⋆ K e r (f)) = h$ .

Geavanceerd voorbeeld

Van een groep $(G, ⋆)$ is de automorfismengroep de verzameling

A u t (G) = {f : (G, ⋆) \to (G, ⋆) | f is een isomorfisme}

.

Mrn kan eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu voor elke $g \in G$ de afbeelding $I_{g} : G \to G$ gedefinieerd door.

I_{g} (x) = g ⋆ x ⋆ g^{- 1}

.

Aangezien de groep $(G, ⋆)$ niet abels hoeft te zijn is dit in het algemeen niet de identieke afbeelding, maar ze lijkt wel sterk daarop. Het zal blijken dat $I_{g} \in A u t (G)$ .

$I_{g}$ is een groepsmorfisme

\begin{matrix} I_{g} (x ⋆ y) & = g ⋆ x ⋆ y ⋆ g^{- 1} \\ = g ⋆ x ⋆ g^{- 1} ⋆ g ⋆ y ⋆ g^{- 1} \\ = I_{g} (x) ⋆ I_{g} (y) \end{matrix}

$I_{g}$ is injectief
Stel dat

I_{g} (x) = I_{g} (y)

dus

g ⋆ x ⋆ g^{- 1} = g ⋆ y ⋆ g^{- 1}

Dan volgt

x = y

$I_{g}$ is surjectief
Laat $z \in G$ , dan geldt voor $x = g^{- 1} ⋆ z ⋆ g$ :

I_{g} (x) = g ⋆ x ⋆ g^{- 1} = g ⋆ g^{- 1} ⋆ z ⋆ g ⋆ g^{- 1} = z

Inderdaad is $I_{g} \in A u t (G)$ ; we noemen $I_{g}$ een inwendig automorfisme.

Definieer de afbeelding $I : (G, ⋆) \to (A u t (G), \circ)$ door:

I (g) = I_{g}

We vragen ons af of $I$ een groepsmorfisme is, m.a.w. is $I_{g_{1} ⋆ g_{2}} = I_{g_{1}} \circ I_{g_{2}}$ ?

\begin{matrix} I_{g_{1} ⋆ g_{2}} (x) & = g_{1} ⋆ g_{2} ⋆ x ⋆ (g_{1} ⋆ g_{2})^{- 1} \\ = g_{1} ⋆ g_{2} ⋆ x ⋆ g_{2}^{- 1} ⋆ g_{1}^{- 1} \\ = I_{g_{1}} (g_{2} ⋆ x ⋆ g_{2}^{- 1}) \\ = I_{g_{1}} \circ I_{g_{2}} (x) \end{matrix}

Wat is de kern van $I$ ?

\begin{matrix} K e r (I) & = {g \in G | I_{g} = {i d}_{G}} \\ = {g \in G | \forall x \in G : g ⋆ x ⋆ g^{- 1} = x} \\ = {g \in G | \forall x \in G : x ⋆ g = g ⋆ x} \\ = Z (G) (het centrum van G) \end{matrix}

< Index