Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

Definities

Definitie:
Een homomorfisme is een afbeelding $h$ van een groep $(G,\star )$ in een groep $(H,\cdot )$ die voldoet aan de eigenschap:

$\forall g_{1},g_{2},\in G:h(g_{1}\star g_{2})=h(g_{1})\cdot h(g_{2})$, de afbeelding is compatibel met de groepsbewerkingen.

Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme $h$ van een groep $(G,\star )$ op een groep $(H,\cdot )$ die bijectief is.

Men zegt dat de groepen $(G,\star )$ en $(H,\cdot )$ isomorf zijn en noteert:

$(G,\star )\cong (H,\cdot )$

De eerste isomorfismestelling voor groepen

Stelling:
Laat $(G,\star )$ en $(H,\cdot )$ twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme $f:(G,\star )\to (H,\cdot )$ bestaat , dan is

$\left(G/\mathrm {Ker} (f),\star \right)\cong \left(f(G),\cdot \right)$

Bewijs:
Definieer het isomorfisme

${\overline {f}}:\left(G/\mathrm {Ker} (f),\star \right)\to \left(f(G),\cdot \right):g\star \mathrm {Ker} (f)\mapsto f(g)$

Is dit goed gedefinieerd?

Neem twee verschillende representanten ($g_{1}$ en $g_{2}$) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een $k\in \mathrm {Ker} (f):g_{1}=g_{2}\star k$. Dus dan wordt

${\overline {f}}(g_{1}\star \mathrm {Ker} (f))=f(g_{1})=f(g_{2}\star k)=f(g_{2})\cdot f(k)=f(g_{2})={\overline {f}}(g_{2}\star \mathrm {Ker} (f))$.

Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.

Is ${\overline {f}}$ een groepsmorfisme?

${\overline {f}}\left((g_{1}\star \mathrm {Ker} (f))\star (g_{2}\star \mathrm {Ker} (f))\right)={\overline {f}}\left((g_{1}\star g_{2})\star \mathrm {Ker} (f)\right)=f(g_{1}\star g_{2})=f(g_{1})\cdot f(g_{2})={\overline {f}}\left(g_{1}\star \mathrm {Ker} (f)\right)\cdot {\overline {f}}\left(g_{2}\star \mathrm {Ker} (f)\right)$

Dus is ${\overline {f}}$ een groepsmorfisme

Is ${\overline {f}}$ bijectief?

${\overline {f}}$ is injectief, want neem $g_{1},g_{2}\in G$ met $f(g_{1})=f(g_{2})$, dan geldt dat $g_{1}=g_{2}\star k$ voor een zekere $k\in \mathrm {Ker} (f)$ en dus is $g_{1}\star \mathrm {Ker} (f)=g_{2}\star \mathrm {Ker} (f)$.

${\overline {f}}$ is surjectief, want zij $h\in f(G)$, dan is er een $g\in G:f(g)=h$, en dus geldt:${\overline {f}}(g\star \mathrm {Ker} (f))=h$.

Geavanceerd voorbeeld

neem de groep $(G,\star )$ en creëer daaruit de verzameling $\mathrm {Aut} (G)=\left\{f:(G,\star )\to (G,\star )|f{\text{ is een bijectief groepsmorfisme}}\right\}$, dan is $(\mathrm {Aut} (G),\circ )$ de automorfismengroep van $(G,\star )$. We kunnen eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu $\forall g\in G$ de afbeelding

$I_{g}:G\to G:x\mapsto g\star x\star g_{-1}$

Aangezien de groep $(G,\star )$ niet abels hoeft te zijn is dit zeker niet de identieke afbeelding maar ze lijkt wel sterk op de identieke. We controleren eerst als $I_{g}\in \mathrm {Aut} (G)$.

Is $I_{g}$ een groepsmorfisme?

${\begin{aligned}I_{g}(x\star y)&=g\star x\star y\star g^{-1}\\&=g\star x\star g^{-1}\star g\star y\star g^{-1}\\&=I_{g}(x)\star I_{g}(y)\end{aligned}}$

Is $I_{g}$ injectief?

${\begin{aligned}I_{g}(x)&=I_{g}(y)\\\Rightarrow g\star x\star g^{-1}&=g\star y\star g^{-1}\\\Rightarrow x&=y\end{aligned}}$

Is $I_{g}$ surjectief?

We vragen ons af als $\forall z\in G:\exists x\in G:I_{g}(x)=z$.

${\begin{aligned}g\star x\star g^{-1}&=z\\\Leftrightarrow x&=g^{-1}\star z\star g\end{aligned}}$

We hebben dus dat $I_{g}\in \mathrm {Aut} (G)$, we noemen $I_{g}$ een inwendig automorfisme.

Nu we weten dat $I_{g}\in \mathrm {Aut} (G)$ kunnen we een afbeelding definiëren

${\begin{aligned}I&:(G,\star )\to (\mathrm {Aut} (G),\circ )\\&:g\mapsto I_{g}\end{aligned}}$

We vragen ons af als $I$ een groepsmorfisme is, m.a.w. is $I_{g_{1}\star g_{2}}=I_{g_{1}}\circ I_{g_{2}}$?

${\begin{aligned}\forall x\in G:I_{g_{1}\star g_{2}}&=g_{1}\star g_{2}\star x\star (g_{1}\star g_{2})^{-1}\\&=g_{1}\star g_{2}\star x\star g_{2}^{-1}\star g_{1}^{-1}\\&=I_{g_{1}}(g_{2}\star x\star g_{2}^{-1})\\&=I_{g_{1}}\circ I_{g_{2}}(x)\end{aligned}}$

Als we de kern van $I$ berekenen, dan krijgen we het volgende:

${\begin{aligned}\mathrm {Ker} (I)&=\{g\in G|I_{g}=I_{d}\}\\&=\{g\in G|\forall x\in G:g\star x\star g^{-1}=x\}\\&=\{g\in G|\forall x\in G:x\star g=g\star x\}\\&={\text{Het centrum van }}G=Z(G)\triangleleft G\end{aligned}}$