Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme
van een groep
op een groep
die bijectief is.
Men zegt dat de groepen
en
isomorf zijn en noteert:

De eerste isomorfismestelling voor groepen
[bewerken]
Stelling:
Laat
en
twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme
bestaat , dan is

Bewijs:
Definieer het isomorfisme

- Is dit goed gedefinieerd?
Neem twee verschillende representanten (
en
) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een
. Dus dan wordt
.
Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.
- Is
een groepsmorfisme?

Dus is
een groepsmorfisme
- Is
bijectief?
is injectief, want neem
met
, dan geldt dat
voor een zekere
en dus is
.
is surjectief, want zij
, dan is er een
, en dus geldt:
.
Van een groep
is de automorfismengroep de verzameling
.
Mrn kan eenvoudig controleren dat dit een groep is.
Construeer nu voor elke
de afbeelding
gedefinieerd door.
.
Aangezien de groep
niet abels hoeft te zijn is dit in het algemeen niet de identieke afbeelding, maar ze lijkt wel sterk daarop. Het zal blijken dat
.
is een groepsmorfisme

is injectief
Stel dat

dus

Dan volgt

is surjectief
Laat
, dan geldt voor
:

Inderdaad is
; we noemen
een inwendig automorfisme.
Definieer de afbeelding
door:

We vragen ons af of
een groepsmorfisme is, m.a.w. is
?

Wat is de kern van
?
