Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De eerste isomorfismestelling voor groepen[bewerken]

Stelling:
Laat en twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme bestaat , dan is


Bewijs:
Definieer het isomorfisme

Is dit goed gedefinieerd?

Neem twee verschillende representanten ( en ) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een . Dus dan wordt

.

Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.

Is een groepsmorfisme?

Dus is een groepsmorfisme

Is bijectief?

is injectief, want neem met , dan geldt dat voor een zekere en dus is .

is surjectief, want zij , dan is er een , en dus geldt:.


Geavanceerd voorbeeld[bewerken]

neem de groep en creëer daaruit de verzameling , dan is de automorfismengroep van . We kunnen eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu de afbeelding

Aangezien de groep niet abels hoeft te zijn is dit zeker niet de identieke afbeelding maar ze lijkt wel sterk op de identieke. We controleren eerst als .

Is een groepsmorfisme?

Is injectief?

Is surjectief?

We vragen ons af als .

We hebben dus dat , we noemen een inwendig automorfisme.

Nu we weten dat kunnen we een afbeelding definiëren

We vragen ons af als een groepsmorfisme is, m.a.w. is ?

Als we de kern van berekenen, dan krijgen we het volgende:

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.