Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

Uit Wikibooks
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Definities[bewerken]

Definitie:
Een homomorfisme is een afbeelding van een groep in een groep met de eigenschap dat voor alle geldt:

;

d.w,z. de afbeelding is compatibel met de groepsbewerkingen.


Definitie:
Een isomorfisme is een homomorfisme van een groep op een groep die bijectief is.

Men zegt dat de groepen en isomorf zijn en noteert:


De eerste isomorfismestelling voor groepen[bewerken]

Stelling:
Laat en twee groepen zijn, waartussen een groepsmorfisme bestaat , dan is


Bewijs:
Definieer het isomorfisme

Is dit goed gedefinieerd?

Neem twee verschillende representanten ( en ) van dezelfde nevenklasse. Dan bestaat er een . Dus dan wordt

.

Dus is het beeld onafhankelijk van de representant.

Is een groepsmorfisme?

Dus is een groepsmorfisme

Is bijectief?

is injectief, want neem met , dan geldt dat voor een zekere en dus is .

is surjectief, want zij , dan is er een , en dus geldt:.


Geavanceerd voorbeeld[bewerken]

Van een groep is de automorfismengroep de verzameling

.

Mrn kan eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu voor elke de afbeelding gedefinieerd door.

.

Aangezien de groep niet abels hoeft te zijn is dit in het algemeen niet de identieke afbeelding, maar ze lijkt wel sterk daarop. Het zal blijken dat .

is een groepsmorfisme

is injectief
Stel dat

dus

Dan volgt

is surjectief
Laat , dan geldt voor :


Inderdaad is ; we noemen een inwendig automorfisme.

Definieer de afbeelding door:

We vragen ons af of een groepsmorfisme is, m.a.w. is ?

Wat is de kern van ?

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.