Wiskunde/Oppervlakte:eenvoudige meetkundige vormen

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek
Cursus Oppervlakte
  1. Het begrip;
  2. van eenvoudige meetkundige vormen;
  3. onder een willekeurige kromme;
  4. bij 3D-objecten.
Cursus Wiskunde

In dit hoofdstuk beschrijven we de berekening van de oppervlakte van enkele eenvoudige meetkundige vormen:

  • de rechthoek;
  • het vierkant;
  • de driehoek;
  • de regelmatige n-hoek
  • de cirkel;
  • de ellips.


[bewerk] Hoe kun je de oppervlakte van een rechthoek uitrekenen?

Om de oppervlakte van een rechthoek uit te rekenen heb je twee gegevens nodig, namelijk de lengte en de breedte van de rechthoek (het is beter om de termen 'lengte en breedte' te vermijden, korte zijde en lange zijde is beter, dus dat doen we vanaf nu). Voorbeeld:

De bovenstaande rechthoek is 4 cm breed en 10 cm lang. De oppervlakte is het aantal vierkante centimeters die in de rechthoek passen. Door om de centimeter lijnen te trekken verdelen we de lengte in 10 stukken van 1 cm en de breedte in 4 stukken van 1 cm. We tellen nu 10 × 4 = 40 vierkantjes van 1 cm lang en 1 cm breed.

Om de oppervlakte te berekenen moet je dus de volgende formule gebruiken:

korte zijde x lange zijde = oppervlakte

in dit geval is dat:

4 cm x 10 cm = 40 cm²


Zoals je misschien al hebt gezien staat er als eenheid cm², dus cm met een kleine 2 boven achter cm. Dit betekent dat het een oppervlakte-eenheid is; cm² wordt uitgesproken als 'vierkante centimeter' en betekent eigenlijk niets anders dan cm × cm.

Als je de maten in meters hebt, bijvoorbeeld een rechthoek van 6 meter bij 3 meter, wordt de oppervlakte automatisch in 'vierkante meters'. Dus:


6 m x 3 m = 18 m²


De korte zijde en lange zijde moeten in dezelfde lengte-eenheid zijn. Als je een rechthoek van 50 cm bij 4 meter hebt, kun je de oppervlakte op 2 manieren berekenen, namelijk:


0,5 m x 4 m = 2 m²

of

50 cm x 400 cm = 20.000 cm²


Zoals je al ziet is de oppervlakte van een rechthoek van 50 cm bij 4 meter gelijk aan 2 m², maar ook aan 20.000 cm². Blijkbaar is 2 m² dus hetzelfde als 20.000 cm².

[bewerk] Hoe kun je de oppervlakte van een vierkant uitrekenen?

Een vierkant is een rechthoek, waarvan de zijden even lang zijn.

Daarom geldt in dit geval:

zijde x zijde = zijde² = oppervlakte

[bewerk] Hoe kun je de oppervlakte van een driehoek uitrekenen?

Een driehoek is net zo groot als een halve rechthoek, zoals te zien is in de linker rechthoek:

Voor de rechter driehoek is dat iets lastiger in te zien. Daarom trekken we in die driehoek een lijn die van de top van de rode driehoek recht naar beneden loopt.


Deze lijn verdeelt de rechthoek in twee rechthoeken, een linker en een rechter rechthoek. Alletwee de rechthoeken bestaan uit een even groot rood en blauw deel. De rode oppervlakte is dus ook in de rechterrechthoek even groot als de blauwe oppervlakte.

De formule die je nodig hebt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen is dus:


oppervlakte driehoek = (korte zijde x lange zijde) : 2


Eenvoudig gezegd bereken je dus eerst de oppervlakte van de rechthoek en neem je daar de helft van. Nu is de lengte van de rechthoek gelijk aan de lengte van de zijde die de basis is van de driehoek en de breedte van de rechthoek is gelijk aan de (bij de basis horende) hoogte van de driehoek, dus de formule wordt dit:

oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2

Bijvoorbeeld:



De basis is 7 cm lang en de hoogte is 5 cm, de oppervlakte van de driehoek is dus:


(7 cm x 5 cm) : 2 = 17,5 cm²

[bewerk] Hoe kun je de oppervlakte van een regelmatige n-hoek uitrekenen?

Een n-hoek is een figuur met n hoeken en n zijden. Men noemt de n-hoek regelmatig als alle zijden en alle hoeken dezelfde zijn.

Een voorbeeld is het vierkant.

De oppervlakte van een regelmatige n-hoek kan men berekenen als volgt:

oppervlakte regelmatige n-hoek = \frac{nz^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}}

Waarbij z de lengte van een willekeurige zijde is en waarbij tan de goniometrische tangensfunctie voorstelt. π wordt hieronder gedefinieerd. r noemen we de afstand van het middelpunt tot aan een hoekpunt (wat ook de straal van de omcirkel is) en kan men berekenen als volgt:

r = \frac{z}{2 \sin{\frac{\pi}{n}}}

Voorbeeld: De oppervlakte van een vierkant met zijde 3

oppervlakte vierkant = \frac{nz^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}} = \frac{4.3^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{4}}} = \frac{4.9}{4.1} = \frac{36}{4} = 9

Wat inderdaad overeenkomt met de eerder geziende formule, waarbij:

oppervlakte vierkant = zijde² = 3² = 9

[bewerk] Hoe kun je de oppervlakte van een cirkel uitrekenen?

Voor het uitrekenen van de oppervlakte van een cirkel krijg je te maken met een aantal termen, deze termen zijn:


  • De diameter van een cirkel
  • De straal van een cirkel
  • Het getal Pi (π)


[bewerk] Wat is diameter?

De diameter is de grootste afstand die je kan meten in een cirkel, zoals hieronder aan staat gegeven:


[bewerk] Wat is de straal?

De straal (in de wiskunde genoteerd als r) is de helft van de diameter. Als de diameter 10 cm is, dan is de straal dus (10 cm :2) 5 cm.

[bewerk] Wat is het getal π?

Het getal π (spreek uit "pi") is een getal aangegeven door de 16e letter van het Griekse alfabet. Het getal π is irrationaal, wat betekent dat er oneindig veel decimalen achter de kommma staan, zonder herhaling. De meeste rekenmachines geven π echter aan tot zo'n 10 á 20 getallen achter de komma, maar voor het het gemak kunnen we stellen:

π = 3.141592654... (het oorspronkelijke getal is groter dan dit)

[bewerk] Wat is de formule?

De formule die gebruikt wordt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen is:


Oppervlakte cirkel = Pi x straal x straal

Of in het kort:

Oppervlakte cirkel = π x r²

  • Wiskundige motivering (***)

De cirkel is eigenlijk een regelmatige n-hoek met als n = + \infty en als z = 2r \sin{\frac{\pi}{n}} = 0. Waarbij de r uiteraard de straal van de cirkel is, vermits de omcirkel gewoon de cirkel zelf is. Rekenen we dit uit dan krijgen we:

:Oppervlakte cirkel = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{nz^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}}}
= \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{n(2r \sin{\frac{\pi}{n}})^{2}}{4 \tan{ \frac{\pi}{n}}}}
= \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{nr^{2}2 \sin{\frac{\pi}{n}} \cos{\frac{\pi}{n}}}
= \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{nr^{2} \sin{\frac{2 \pi}{n}}}
= \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{nr^{2} \sin{\frac{2 \pi}{n}} \frac{2 \pi}{n}}{\frac{2 \pi}{n}}}
= \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{2 \pi nr^{2}}{n}}
= \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow + \infty}{2 \pi r^{2}}
= \frac{2 \pi r^{2}}{2} = πr2

Wat de vooropgestelde formule was

Laten we deze formule uitproberen met de volgende cirkel:



Deze cirkel heeft een diameter van 10 cm. Voor het toepassen van de formule hebben wij echter niet de diameter, maar de straal nodig. Zoals hiervoor al gezegd is, is de straal de helft van de diameter, in dit geval is de straal dus 5 cm. Nu kunnen we de oppervlakte uitrekenen:


Oppervlakte cirkel = Pi x 5 cm x 5 cm = 78,54 cm²

of korter

Oppervlakte cirkel = π x 5² cm² = 78,54 cm²


Het lijkt in het begin misschien ingewikkeld, maar na een paar keer oefenen wordt het steeds eenvoudiger.

[bewerk] Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen?

Een ellips wordt ook wel een ovaal genoemd. Dit is echter niet correct : een ellips is een doorlopende kromme terwijl een ovaal uit cirkelsegmenten bestaat. De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt erg op de formule om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. Het verschil is dat een ellips niet een vaste diameter heeft. Een lijn door het middelpunt heeft een lengte die varieert van een kleinste waarde tot een grootste. De kleinste lijn heet de korte as van de ellips en de grootste de lange as. In plaats van met het kwadraat van de straal zoals bij een cirkel, bereken je de oppervlakte van een ellips met het product ab van de lengten a en b van de beide halve assen. Hieronder staat een ellips afgebeeld met de beide halve assen weergegeven.



a = de halve lange as (het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)

b = de halve korte as (het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)


De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen is:


oppervlakte ellips = π x halve lange as a x halve korte as b


Als 'a' 20 cm is en 'b' 5 cm is, is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π x 20 cm x 5 cm = 314,2 cm²

Indien 'a' dezelfde waarde heeft als 'b', is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π . a . b = π . a²

Wat inderdaad blijkt te kloppen, het is immers de oppervlakte van een cirkel.

Ga terug naar de Inhoud.

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Aspecten/acties
Persoonlijke instellingen
Boek maken
  • Wikipagina toevoegen
  • Hulp bij collecties