Wiskunde/Oppervlakte:eenvoudige meetkundige vormen

Cursus Oppervlakte
Het begrip; van eenvoudige meetkundige vormen; onder een willekeurige kromme; bij 3D-objecten. Cursus Wiskunde

In dit hoofdstuk beschrijven we de berekening van de oppervlakte van enkele eenvoudige meetkundige vormen:

• de rechthoek
• het vierkant
• de driehoek
• de regelmatige n-hoek
• de cirkel
• de ellips.

Hoe kun je de oppervlakte van een rechthoek uitrekenen?

Om de oppervlakte van een rechthoek uit te rekenen heb je twee gegevens nodig, namelijk de lengte en de breedte van de rechthoek (of korte zijde en lange zijde). Voorbeeld:

De bovenstaande rechthoek is 4 cm breed en 10 cm lang. De oppervlakte is het aantal vierkante centimeter die in de rechthoek passen. Door om de centimeter lijnen te trekken verdelen we de lengte in 10 stukken van 1 cm en de breedte in 4 stukken van 1 cm. We tellen nu 10 × 4 = 40 vierkantjes van 1 cm lang en 1 cm breed.

Om de oppervlakte te berekenen moet je dus de volgende formule gebruiken:

korte zijde x lange zijde = oppervlakte

in dit geval is dat:

4 cm x 10 cm = 40 cm²

Er staat als eenheid cm², dus cm met een kleine 2 boven achter cm. Dit betekent dat het een oppervlakte-eenheid is; cm² wordt uitgesproken als 'vierkante centimeter' en betekent eigenlijk niets anders dan cm × cm.

Als je de maten in meter hebt, bijvoorbeeld een rechthoek van 6 meter bij 3 meter, wordt de oppervlakte automatisch in 'vierkante meter'. Dus:

6 m x 3 m = 18 m²

De korte zijde en de lange zijde moeten in dezelfde lengte-eenheid zijn. Als je een rechthoek van 50 cm bij 4 m hebt, kun je de oppervlakte op twee manieren berekenen, namelijk:

0,5 m x 4 m = 2 m²

of

50 cm x 400 cm = 20.000 cm²

Zoals je al ziet is de oppervlakte van een rechthoek van 50 cm bij 4 m gelijk aan 2 m², maar ook aan 20.000 cm². Blijkbaar is 2 m² dus hetzelfde als 20.000 cm². De punt "." wordt gebruikt om duizendtallen aan te geven en te scheiden.

• Pas op voor verwarring met de Engelse schrijfwijze, die je mogelijk op je rekenmachine ziet, die is anders: twintigduizend is daar "20,000". Onze aanduiding van decimale breuken, bijvoorbeeld twintig en een half 20,5 wordt in de Engelse schrijfwijze... 20.5! Dus voor zeg een Amerikaan betekent 20.000 niet twintigduizend, maar twintig met een hoge precisie van drie cijfers achter de komma, pardon hier punt. Zouden wij schrijven als twintig 20,000. Tja.

Hoe kun je de oppervlakte van een vierkant uitrekenen?

Een vierkant is een rechthoek, waarvan de zijden even lang zijn.

Daarom geldt in dit geval:

zijde x zijde = zijde² = oppervlakte

Hoe kun je de oppervlakte van een driehoek uitrekenen?

Een driehoek is net zo groot als een halve rechthoek, zoals te zien is in de linker rechthoek:

Voor de rechter driehoek is dat iets lastiger in te zien. Daarom trekken we in die driehoek een lijn die van de top van de rode driehoek recht naar beneden loopt.

Deze lijn verdeelt de rechthoek in twee rechthoeken, een linker en een rechter rechthoek. Alle twee de rechthoeken bestaan uit een even groot rood en blauw deel. De rode oppervlakte is dus ook in de rechterrechthoek even groot als de blauwe oppervlakte.

De formule die je nodig hebt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen moet dus de halve oppervlakte van de rechthoek geven:

oppervlakte driehoek = (korte zijde van rechthoek x lange zijde van rechthoek) : 2

(Merk trouwens op dat we drie manieren hebben om die deling weer te geven ": 2" , "/ 2" of een horizontale streep met daaronder een 2. Hier is de eerste manier gekozen).

Eenvoudig gezegd bereken je dus eerst de oppervlakte van de rechthoek en neem je daar de helft van. Nu is de lengte van de rechthoek gelijk aan de lengte van de zijde die de basis (onderkant) is van de driehoek en de breedte van de rechthoek is gelijk aan de (bij de basis horende) hoogte van de driehoek, dus in de formule wordt dit:

oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2

Bijvoorbeeld:

De basis is 7 cm lang en de hoogte is 5 cm, de oppervlakte van de driehoek is dus:

(7 cm x 5 cm) : 2 = 17,5 cm²

Hoe kun je de oppervlakte van een regelmatige n-hoek uitrekenen?

Een n-hoek is een figuur met n hoeken en n zijden. Men noemt de n-hoek regelmatig als alle zijden en alle hoeken dezelfde zijn.

Een voorbeeld is het vierkant.

De oppervlakte van een regelmatige n-hoek kan men als volgt berekenen. Men kan de oppervlakte beschouwen als opgebouwd uit n (gelijkbenige) driehoeken met basis z en een nog onbekende hoogte h. De totale oppervlakte is dus nzh/2 . De hoogtelijn uit de tophoek naar de basis verdeelt elke driehoek in twee rechthoekige deeldriehoeken. De verhouding tussen de rechthoekszijden wordt gegeven door de goniometrische tangensfunctie. Bij theoretische formules wordt het argument van goniometrische functies gegeven in radialen. Een hoek van 360° komt overeen met een hoek van 2π radialen (rad). In elke rechthoekige deeldriehoek is de hoek tegen het middelpunt dus = (2π/n)/2 = π/n rad. Men krijgt dan voor de verhouding van de rechthoekszijden:

${\frac {z/2}{h}}=\tan {\frac {\pi }{n}}$    waaruit    $h={\frac {z/2}{\tan {\frac {\pi }{n}}}}$

Dit invullen in de eerste formule voor de oppervlakte levert:

oppervlakte regelmatige n-hoek = ${\frac {nz^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}$

Waarbij z de lengte van een willekeurige zijde is en tan de tangensfunctie voorstelt. π wordt hieronder gedefinieerd. Wanneer men met een rekenmachientje werkt waarbij men het argument van de tangens in graden mag ingeven, vervangt men π door 180° .

De afstand van het middelpunt tot aan een hoekpunt (wat ook de straal van de omschreven cirkel is) noemen we r. Die kan men als volgt berekenen:

r = ${\frac {z}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}$

Voorbeeld: De oppervlakte van een vierkant met zijde 3 is

oppervlakte vierkant = ${\frac {nz^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {4\cdot 3^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {4\cdot 9}{4\cdot 1}}={\frac {9}{1}}=9$

wat overeenkomt met de eerder gegeven formule, waarbij:

oppervlakte vierkant = zijde² = 3² = 9

Hoe kun je de oppervlakte van een cirkel uitrekenen?

Voor het uitrekenen van de oppervlakte van een cirkel krijg je te maken met een aantal termen, deze termen zijn:

• De diameter van een cirkel (d)
• De straal van een cirkel (r)
• Het getal Pi (π)

Wat is de diameter?

De diameter van een cirkel is de lengte van een rechte lijn die loopt van een punt op de cirkel, via het middelpunt, naar een punt aan de overkant. Het is de grootste afstand tussen twee punten op een cirkel.

Wat is de straal?

De straal van een cirkel is de afstand van het middelpunt tot de cirkel. Deze afstand is bij een cirkel in alle richtingen gelijk. Daarom is een cirkel gemakkelijk te tekenen met behulp van een passer. In de wiskunde w

De straal is de helft van de diameter. Als de diameter 10 cm is, dan is de straal dus (10 cm : 2 =) 5 cm.

Wat is het getal π?

Het getal π (spreek uit: "pi") is een getal aangegeven met de 16e letter van het Griekse alfabet, de Griekse "p". Het getal π is irrationaal (niet te schrijven als breuk), wat betekent dat er oneindig veel decimalen achter de komma staan, zonder in herhaling te vervallen. Goede benaderingen van π zijn 22/7 en nog beter 355/113. De meeste rekenmachines geven π aan tot zo'n 10 á 20 cijfers achter de komma.

π = 3,1415 9265 3589 7932...

Wat is de formule?

De formule die gebruikt wordt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen is:

Oppervlakte cirkel = pi x straal x straal

Of in het kort:

Oppervlakte cirkel = π r²

1. Afleiding met ingeschreven bijna driehoeken

Als we een cirkel opknippen vanuit het centrum, en langs de straal vele knipjes geven bijna tot de rand van de cirkel, kunnen we de cirkel uitrollen. We krijgen dan een rij nog net verbonden driehoeken met een nog iets gekromde basis (onderkant). Hoe meer driehoeken we zo maken, hoe rechter de onderkanten van de driehoeken worden. Het oppervlak van al die driehoeken samen is nog steeds gelijk aan het oppervlak van de cirkel. Het oppervlak van een driehoek is

oppervlakte driehoek = (basis x hoogte) : 2

zagen we boven. Nu hebben we een rij van driehoeken, die samen een totale basis ter lengte van de omtrek van de cirkel

2 pi x straal

hebben, terwijl hun hoogte steeds de straal is.

De oppervlakte van alle driehoeken samen en dus van de hele cirkel is

oppervlakte driehoeken = (basis samen x hoogte) : 2 =

2 pi x straal x straal : 2 =

pi x straal x straal = pi x straal² = πr²

2. Afleiding met omgeschreven regelmatig veelhoek

Als men een omgeschreven regelmatige veelhoek beschouwt, dan is de hoogte in elke driehoek gelijk aan de straal r. De totale oppervlakte van die veelhoek met n zijden van lengte z is nzr/2. Die oppervlakte is groter dan de oppervlakte van de cirkel. Wanneer men het aantal zijden echter steeds groter maakt, wordt dit verschil steeds kleiner. Voor een oneindig groot aantal zijden zal de veelhoek samenvallen met de cirkel. n x z wordt dan de omtrek van de cirkel, nl. 2πr. De oppervlakte van de cirkel wordt dus πr².

3. Afleiding uit regelmatige veelhoek

De oppervlakte van een cirkel kan worden afgeleid van de oppervlakte van een regelmatige n-hoek. Gaat het aantal hoeken naar oneindig, dan verdwijnt immers de ruimte tussen de n-hoek en de omgeschreven cirkel (de cirkel die door alle hoekpunten gaat).

Oppervlakte cirkel $=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {nz^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}$
$=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n(2r\sin {\frac {\pi }{n}})^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}$
$={\frac {1}{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }{nr^{2}2\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}}$
$={\frac {1}{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }{nr^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

Wanneer n groter wordt, wordt 2π/n steeds kleiner. Voor een kleine hoek, kleiner dan 1°, mag men de sin van die hoek vervangen door de hoek zelf mits die in radialen uit te drukken. 2π/n is de hoek in radialen. Door sin(2π/n) te vervangen door 2π/n krijgt men:

$={\frac {1}{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {2\pi nr^{2}}{n}}$
$={\frac {1}{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }{2\pi r^{2}}$
$={\frac {2\pi r^{2}}{2}}$$=\pi r^{2}$

Laten we deze formule uitproberen met de volgende cirkel:

Deze cirkel heeft een diameter van 10 cm. Voor het toepassen van de formule hebben wij echter niet de diameter, maar de straal nodig. Zoals hiervoor al gezegd is, is de straal de helft van de diameter, in dit geval is de straal dus 5 cm. Nu kunnen we de oppervlakte uitrekenen:

Oppervlakte cirkel = Pi x 5 cm x 5 cm = 78,54 cm²

of korter

Oppervlakte cirkel = π x 5² cm² = 78,54 cm²

Het lijkt in het begin misschien ingewikkeld, maar na een paar keer oefenen wordt het steeds eenvoudiger.

Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen?

Een ellips ontstaat door een cirkel langs een as uit te rekken. Een ellips is echter niet hetzelfde als een ovaal: de kromming van een ellips verandert geleidelijk, terwijl een ovaal uit segmenten bestaat die elk een vaste kromming hebben.

De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt daarom op de formule voor de oppervlakte van een cirkel. Het verschil is dat een ellips niet een vaste diameter heeft. Een lijn door het middelpunt heeft een lengte die varieert van een kleinste waarde tot een grootste. De kleinste lijn heet de korte as van de ellips en de grootste de lange as. In plaats van met het kwadraat van de straal zoals bij een cirkel, bereken je de oppervlakte van een ellips met het product ab van de lengten a en b van de beide halve assen. Hieronder staat een ellips afgebeeld met de beide halve assen weergegeven.

a = de halve lange as (het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)

b = de halve korte as (het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips)

De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen is:

oppervlakte ellips = π x halve lange as a x halve korte as b

Als 'a' 20 cm is en 'b' 5 cm is, is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π x 20 cm x 5 cm = 314,2 cm²

Speciaal geval: cirkel

Als 'a' dezelfde waarde heeft als 'b', is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π . a . b = π . a²

Wat inderdaad blijkt te kloppen, het is immers de oppervlakte van een cirkel.

---

Ga terug naar de Inhoud.