Rekenen/Decimale breuken
Uit Wikibooks
Decimale breuken zijn breuken met als noemer een macht van 10, dus 10, 100, 1000, enz. Zulke breuken noteren we als volgt:
Dus als een vertrouwd rijtje cijfers, maar nu met een komma erin. Het aantal cijfers achter de komma bepaalt welke macht van 10 er in de noemer staat.
In 0,3 staat er nog een cijfer na de komma, daarom staat er 10 in de noemer 0,3 = 3/10 in 0,35 staan er nog 2 cijfers achter de komma, daarom: 0,35 = 35/100 in 1,987 staan er 3 cijfers na de komma, daarom: 1,987 = 1987/1000.
Sommige breuken laten zich eenvoudig als decimale breuk schrijven:
Lang niet alle breuken echter kunnen als decimale breuk geschreven, maar wel kan elke breuk heel dicht benaderd worden door een decimale breuk. Daarom kunnen we goed rekenen met decimale breuken. De rekenmethoden voor decimale getallen kunnen we gewoon ook voor decimale breuken gebruiken.
Wat doen we met de andere breuken? Men kan bewijzen dat elke breuk te schrijven is als decimale breuk of als zogenaamde repeterende (decimale) breuk.
[bewerk] Repeterende (decimale) breuken
Is 1/3 een decimale breuk? Door te proberen een staartdeling uit te voeren vinden we:
- 1/3 = 0,3333333....,
de deling eindigt niet, maar er vindt herhaling van zetten plaats. Zo is ook:
- 2/9 = 0,222...
met een herhaalde 2
- 1/7 = 0,142857142857....
met een herhaald deel 142857.
Om aan te geven dat een bepaald patroon zich herhaalt schrijven we in plaats van puntjes (...) liever dat deel tussen / en /:
- 1/3 = 0,/3/
- 2/9 = 0,/2/
- 1/7 = 0,/142857/
(De streep wordt ook vaak door het eerste en het laatste cijfer van de herhaling geschreven.)
Zulke breuken noemen we repeterende (decimale) breuken. We kunnen ze nog gemakkelijk als decimale breuk opvatten, alhoewel het deel achter de komma niet eindigt, altijd maar verder gaat.
Het is wel plezierig dat men kan bewijzen dat elke breuk te schrijven is als decimale breuk of als repeterende breuk. Ook is natuurlijk elke decimale breuk een breuk, immers het is een breuk met een macht van 10 als noemer, maar ook elke repeterende breuk is een breuk. Dat kunnen we met een voorbeeld aantonen.
Welke breuk is 0,/123/? We schrijven:
0,123123123123123....
en trekken dit af van
1000 x 0,123123123123... = 123,123123123123.
Dat levert:
999 x 0,/123/ = 1000 x 0,/123/ - 0,/123/ = 123,123123123... - 0,123123123... = 123 (exact!)
dus:
0,/123/ = 123/999 = 41/333
Door staartdeling kunnen we eventueel nagaan dat dit juist is.
333 / 41 \ 0,123123123123...
333
---
770
666
---
1040
999
----
41
herhaling
Uit de berekening kunnen we opmaken dat we het repeterende deel moeten delen door evenveel negens als er in dat deel zijn. Zo is:
0,/356589/ = 356589/999999 = 13207/37037
en
0,/225/ = 225/999 = 25/111
Als het repeterende deel niet direct achter de komma staat, moeten we eerst wat rekenen:
0,123/456/ = 0,123 + 0,000/456/ = 0,123 + 0,/456/ x 0,001 = 0,123 + 456/999 x 0,001 = 0,123 + 456/999000 = 123/1000 + 456/999000 = 122877/999000 + 456/999000 = 123333/999000 = 41111/333000
[bewerk] Repeterende negens
Een speciale vermelding verdient het geval van repeterende negens, een getal als:
0,/9/ = 0,99999999....
waarin de negens dus nooit eindigen. Daarom is:
10 x 0,999... = 9,999... = 9 + 0,999...
waaruit volgt:
9 x 0,999... = 9
zodat we bewezen hebben dat:
0,999... = 1
Het getal 0,999... is dus een andere manier om het getal 1 op te schrijven.
 |
De wijzigingen aan deze pagina van voor 15 april 2007 vallen alléén onder de GFDL, en niet onder de CC-BY-SA-licentie. U kunt de inhoud van deze pagina dan ook alleen onder de voorwaarden van de GFDL (her)gebruiken. Niet alle bijdragers van voor 15 april 2007 hebben hun werk vrijgegeven onder de dubbellicentie GFDL&CC-BY-SA. Kijk hier voor meer informatie. |
