Vectormeetkunde/Vectorvoorstelling/vergelijking van een lijn

Uit Wikibooks

Deze pagina gaat over het opstellen van een vectorvoorstelling of vergelijking van een lijn. Het is namelijk mogelijk een lijn op twee verschillende manieren vast te leggen, door middel van een vectorvoorstelling of een vergelijking. Op deze pagina gaan wij daar verder op in.

[bewerken] Vectorvoorstelling van een lijn

1.Vectorvoorstelling van een lijn opstellen In een ruimte (R³) kan een lijn worden vastgelegd door de richting van de lijn met een daarbijhorend punt. Een vectorvoorstelling om een lijn te beschrijven bestaat dus uit 2 dingen. Allereerst de steunvector en een richtingsvector. De steunvector geeft simpelweg een willekeurig punt op de lijn aan, de richtingsvector de richting waarin de lijn loopt. Neem bijvoorbeeld de punten A(2,2,2) en B(4,2,1). We gaan nu de lijn tussen deze punten beschrijven. De richtingsvector is niets anders dan de richting waarin de lijn loopt, zoals nu bijvoorbeeld van A naar B. Dat geeft een verplaatsing van (2,0,-1). Deze verplaatsing is de richtingsvector. Nu hebben we alleen nog een steunvector nodig, die niet meer was dan een willekeurig punt op de lijn. Aangezien we twee bekende punten hebben kunnen we hier zowel punt A als B voor nemen. De vectorvoorstelling is dan heel makkelijk op te stellen:

= + α.

2. Evenwijdige lijnen Als er 2 vectorvoorstellingen van lijnen bekend zijn, is het heel makkelijk te zien of de lijnen evenwijdig lopen. Zoals in de vorige alinia beschreven werd laat de richtingsvector het verloop van de lijn zien. Een richtingsvector (1,2,3) geeft aan dat als de lijn zich met 1 over de X-as verplaast hij zich tevens ook 2 over de Y en 3 over de Z-as verplaatst. Lijnen lopen dus evenwijdig als de richtingsvector hetzelfde is of een veelvoud van elkaar. Bijvoorbeeld:

= + α en :: = + α.

De richtingsvectoren () zijn veelvouden van elkaar!De lijnen lopen dus evenwijdig.