Vectormeetkunde/Vergelijking van een vlak

Uit Wikibooks

Deze pagina gaat over hoe men vergelijkingen en vectorvoorstellingen kan opstellen van een vlak. Dit is van cruciaal belang om vlakken goed te kunnen beschrijven.

[bewerken] Vectorvoorstelling van een vlak

In dit kopje wordt stap voor stap uitgelegd hoe men een goede vectorvoorstelling voor een vlak opsteld.

1. Vectorvoorstelling opstellen

Een vectorvoorstelling om een vlak te beschrijven bestaat uit 2 dingen. Allereerst de steunvector en 2 richtingsvectoren. De steunvector geeft simpelweg een willekeurig punt in het vlak aan, de 2 richtingsvectoren de richting waarin het vlak loopt. Neem bijvoorbeeld een kubus OABC DEFG met zijden van 2 lang. We gaan nu vlak OABC beschrijven (oftewel het grondvlak van de kubus). De richtingsvectoren zijn niets anders dan de richtingen waarin het vlak loopt zoals bijvoorbeeld van O naar A. Dat geeft een verplaatsing van (2,0,0). Deze verplaatsing kun je gebruiken als 1 van de twee richtingsvectoren. Je zou nu natuurlijk kunnen zeggen, ik doe makkelijk: (1,0,0) is ook een richtingsvector! MAAR dit is onjuist. Voor een vlak is het verplicht 2 verschillende richtingsvectoren te gebruiken. (2,0,0) is een veelvoud van (1,0,0) en wordt dus als hetzelfde beschouwd. Wel kunnen we de verplaatsing van O naar D nemen, deze is (0,2,0). Nu is het mogelijk de vectorvoorstelling op te stellen:

$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ +

α

$\begin{bmatrix}0\\2\\0\end{bmatrix}$ +

γ

$\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}$

Eigenlijk is in dit geval de steunvector (0,0,0) overbodig aangezien het optellen van 3 maal 0 geen effect heeft op het eindresultaat. Daarnaast zijn de Griekse letters willekeurig gekozen als parameter.

2. Een vectorvoorstelling door middel van 3 punten

Zoals je waarschijnlijk al in de vorige alinia had opgemerkt hebben we daar eigenlijk een vectorvoorstelling gemaakt doormiddel van 3 punten. Dit is natuurlijk ook goed mogelijk met 3 willekeurige punten. Neem punt A(3,2,1), punt B(6,-2,4) en punt C(1,3,6). We gaan nu een vectorvoorstelling opstellen voor het vlak dat door deze 3 punten gaat. Als steunvector kunnen we een willekeurig punt nemen, dat kan dus zowel punt A, B of C zijn. Voor de twee richtingsvectoren hebben we ook genoeg keus. Zo kunnen we bijvoorbeeld de richtingsvector van A naar B gebruiken.

van $\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}$ naar $\begin{bmatrix}6\\-2\\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\-4\\3\end{bmatrix}$ Dus: $\overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix}3\\-4\\3\end{bmatrix}$

Nu hebben we dus 1 richtingsvector! De andere richtingsvector die je kunt gebruiken is bijvoorbeeld die van A naar C.

van $\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}$ naar $\begin{bmatrix}1\\3\\6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\1\\5\end{bmatrix}$ Dus: $\overrightarrow{AC}=\begin{bmatrix}-2\\1\\5\end{bmatrix}$

De vectorvoorstelling is nu heel makkelijk op te stellen:

$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}$ +

α

$\begin{bmatrix}-2\\1\\5\end{bmatrix}$ +

γ

$\begin{bmatrix}3\\-4\\3\end{bmatrix}$

3. Een vectorvoorstelling door middel van twee lijnen

Het is ook mogelijk een vectorvoorstelling op te stellen voor een vlak dat bepaald wordt door 2 lijnen. Het voordeel hiervan is dat beide lijnen al een richtingsvector bevatten die tevens ook gebruikt kunnen worden als richtingvector van het vlak.

Neem bijvoorbeelde de lijnen a en b: