Vectormeetkunde/Regels en eigenschappen

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek
Vectormeetkunde
Inhoudsopgave
  1. Regels en eigenschappen (Beginselen van de Vectormeetkunde)
  2. Loodrechte vectoren

Lineaire algebra begint meestal met het beschrijven van punten, lijnen en vlakken in een driedimensionale ruimte(X, Y en Z-as). Het is ook mogelijk punten en lijnen in een tweedimensionale ruimte (X en Y-as) te beschrijven. Het laatste is misschien al wat bekend van de middelbare school waar gevraagd wordt lijnen en punten te zetten in een assenstelsel. Voor lineaire algebra is echter een stuk meer theorie en rekenvaardigheid nodig. Op deze pagina worden de beginselen van linaire algebra in het driedimensionale vlak beschreven (deze ruimte wordt ook wel R3 genoemd).

3D Cartesian coordinates.PNG

[bewerken] Elementaire regels en eigenschappen

Om de onderstaande theorie te kunnen begrijpen is het van belang goed te snappen hoe een assenstelsel in elkaar zit en wat men bedoelt met uidrukkingen zoals: 'Punt A ligt op (3,5)' of 'punt B op (-6,4,9)'. De uitleg van deze uidrukkingen, maar ook het assenstelsel kunt u hier [1] vinden.

1. Het coordinatenstelsel

Het assenstelsel met een X, Y en Z-as wordt ook wel een coordinatenstelsel genoemd. De drie assen staan loodrecht op elkaar en hebben als snijpunt O (het nulpunt).


2. Punten beschrijven in R3

Punten geef je aan doormiddel van de ligging tov de verschillende assen. In R3 werken we met de X, Y en Z-as. Punten worden dus doormiddel van 3 coordinaten weergegeven. Het nulpunt wordt dus beschreven als (0,0,0). Een willekeurig punt kan dus (-3,3,-10) zijn maar ook (1,0,0).


3. Lijnstukken

Een lijnstuk vanuit het nulpunt (0,0,0) naar punt A(2,2,2) kan worden beschreven als OA. Het gaat hier dan 'puur' alleen om het stukje lijn tussen het nulpunt en punt A.


4. Plaatsvector

Een ander type lijnstuk is een vector. Een vector (zie voor meer informatie over vectoren [2]) is een lijnstuk dat een richting aangeeft. Een zogenaamd gericht lijnstuk. Een vector vanuit het nulpunt noemt men een plaatsvector. Neem nu als voorbeeld: Een vector vanuit het nulpunt (0,0,0) naar punt A(2,2,2) geven we dan aan als: \overrightarrow{OA}.
OA betekent dus het lijnstuk tussen het nulpunt en A.
Bij\overrightarrow{OA} gaat het dus om een vector vanuit O naar A.
De vector \overrightarrow{OA} gaat dus van (0,0,0) naar (2,2,2). Deze vector kan ook met coordinaten weergeven worden, dan worden alleen de coordinaten van het eindpunt weergegeven (Dit kan alleen bij een plaatsvector!).
\overrightarrow{OA}=\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}
Bij deze vector is het meteen duidelijk dat deze vector van O naar A loopt en zich dus 2 verplaats over de X-as, 2 over de Y-as en 2 over de Z-as.


5. Vrije vector

Neem nu punt B(2,1,3) en punt C(3,3,6). We gaan nu de vector van van B naar C bepalen. Deze vector kan dus worden beschreven als: \overrightarrow{BC}. Nu kun je niet simpelweg de coordinaten van het eindpunt nemen(zoals bij een plaatsvector mogelijk is!). Bij een vrije vector beschrijf je de weg van B naar C. Om van B naar C te komen, verplaatst de vector zich met 1 over de X-as (van 2 /arrow 3), met 2 over de Y-as (van 1 naar 3) en met 3 over de Z-as (van 3 naar 6). Dit zou je kunnen beschrijven als een verplaatsing van (1,2,3). Dit kun je ook schrijven als:
\overrightarrow{BC}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}
Neem als voorbeeld de punten: O(0,0,0); A(2,2,2); B(2,1,3); C(3,3,6)
\overrightarrow{OC}=\begin{bmatrix}3\\3\\6\end{bmatrix} \overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix} \overrightarrow{BA}=\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} \overrightarrow{AC}=\begin{bmatrix}1\\1\\4\end{bmatrix} \overrightarrow{CA}=\begin{bmatrix}-1\\-1\\-4\end{bmatrix}
In principe maakt het dus niet uit of men kiest voor \overrightarrow{AB} of \overrightarrow{BA}. Deze twee vectoren stellen eigenlijk hetzelfde voor. Of je nu -1 over de Y-as en 1 over de Z-as gaat, of 1 over de Y-as en -1 over de Z-as, maakt niet uit aangezien je dezelfde weg aflegd!


6. Lengte van een vector

Neem de vector \overrightarrow{OC}=\begin{bmatrix}3\\3\\6\end{bmatrix}. Om aan te geven dat het bij een vector om de 'lengte van een vector' gaat, worden er aan beide zijden van de vector een rechte streep geplaatst. De lengte van vector OC = |OC|. Om deze lengte dan vervolgens te bepalen moet er tweemaal pythagoras worden toegepast. De eerste keer in het X/Y-as vlak en vervolgens met de berekende waarde in het X/Y/Z-as vlak:
{|OC|} = \sqrt{3^2+3^2+6^2} = 7,35.


7. Optellen/aftrekken van vectoren

vector A: \overrightarrow{A}=\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix} en vector B: \overrightarrow{B}=\begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix}.
Vector A + B =
\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2+3\\1+4\\4-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\5\\-2\end{bmatrix}.
Vector A - B =
\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2-3\\1-4\\4+6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5\\-3\\10\end{bmatrix}.


8. Veelvoud van een vector

Met een veelvoud van een vector bedoelt men dan de gehele vector wordt vermenigvuldigd met een getal.
Bijvoorbeeld vector A (-2,1,4) wordt vermenigvuldigd met het getal 5.
{5*}\begin{bmatrix}-2\\1\\4\end{bmatrix} {=}\begin{bmatrix}5*-2\\5*1\\5*4\end{bmatrix}{=} \begin{bmatrix}-10\\5\\20\end{bmatrix}


9. Het inproduct

Het inproduct tussen 2 vectoren kan als volgt worden berekend:
We hebben vector A(a1,a2,a3) en vector B(b1,b2,b3). Van deze twee vectoren wil men het inproduct bepalen. Het inproduct wordt beschreven als: a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen