Toevalsprocessen/Kansrekening

Kansrekening is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval een rol speelt, met als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten. Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo effectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. Zie voor een (wiskundige) inleiding in de Discrete Kansrekening het gelijknamige wikiboek.

De kansrekening tracht mathematische hulpmiddelen aan te reiken aan een zeer breed scala van maatschappelijke activiteiten en wetenschappen, om binnen een omgeving met onzekerheden toch gefundeerde keuzes te kunnen maken of conclusies te kunnen trekken. Als zodanig is kansrekening een belangrijk hulpmiddel in de statistiek. Inmiddels is kansrekening een sterk ontwikkelde tak van de wiskunde, met een groot aantal deelgebieden.

Intuïtieve uitleg van het begrip kans

In een situatie waarin het toeval een rol speelt zal tevoren vaak niet bekend zijn wat de uitkomst van een waarneming of meting is. Wel kan meestal aangegeven worden wat de mogelijke uitkomsten zijn. Welk ogenaantal boven zal komen bij een worp met een dobbelsteen, weten we tevoren niet - dat is ook juist de bedoeling - maar we weten wel dat er slechts de mogelijkheden 1 tot en met 6 zijn. De verzameling van de mogelijke uitkomsten van zo'n toevalsexperiment wordt 'uitkomstenruimte' (of 'uitkomstenverzameling') genoemd en veelal aangeduid met Ω. Behalve de vraag welke uitkomst de worp met de dobbelsteen heeft, is er ook behoefte om vragen als "Is de uitkomst een even ogenaantal?" of "Heb je meer dan 4 gegooid?" te beantwoorden. Deze vragen hebben betrekking op meer dan een uitkomst, de eerste op de uitkomsten 2, 4 en 6, en de tweede op de uitkomsten 5 en 6. Het resultaat 'even uitkomst' en evenzo 'meer ogen dan 4' wordt een gebeurtenis genoemd en voorgesteld door respectievelijk de deelverzamelingen {2,4,6} en {5,6} van de uitkomstenruimte.

Omdat niet alle uitkomstenruimten zo eenvoudig zijn als bij de dobbelsteen, blijken niet altijd alle deelverzamelingen van een uitkomstenruimte als gebeurtenis toegelaten te zijn. Daarom wordt apart aangegeven wat de verzameling is van deelverzamelingen die wel 'geschikt' zijn als gebeurtenis. Om rekentechnische reden worden zekere eisen gesteld aan deze verzameling van gebeurtenissen. Is bij de (eerlijke) dobbelsteen eenvoudig te zien hoe we het begrip 'kans' moeten introduceren, immers alle uitkomsten zullen gelijke kans van optreden hebben en dus, omdat de totale kans op 1 (= 100%) is genormeerd, kans 1/6 hebben.

Het spreekt daarna voor zich hoe de kans op een gebeurtenis bepaald moet worden. Omdat uitkomstenruimten lang niet altijd zo eenvoudig zijn als bij de dobbelsteen en ook niet alle uitkomsten even waarschijnlijk hoeven te zijn, wordt het begrip kans axiomatisch ingevoerd. De kans, aangeduid met Pr of 'P', zal aan een gebeurtenis de kans van optreden Pr(A) toekennen volgens een drietal vastgestelde regels (zie onder formele definitie van het begrip kans). De begrippen: uitkomst, gebeurtenis en kans vormen de basis waarop de gehele kansrekening rust.

De kans dat een gebeurtenis optreedt wordt weergegeven met een getal tussen 0 en 1. In werkelijkheid zijn er zeer weinig dingen die een kans 0 of 1 hebben. Men kan zeggen dat morgen in ieder geval de zon weer op komt, maar wat als een extreem onwaarschijnlijke gebeurtenis de zon zou vernietigen? Wat als er een kernoorlog uit zou breken en de lucht eeuwenlang bedekt is met as en rook? Vaak ronden we dit soort kansen af op 0 of 1, vanwege het onwaarschijnlijke karakter ervan.

Formele definitie van het begrip kans

Het definitiekader wordt aangegeven door de axioma's van de kansrekening. De axioma's van de kansrekening zijn enkele door de Russische wiskundige Kolmogorov geformuleerde axioma's om een strenge onderbouwing te geven aan de kansrekening. Gedurende lange tijd werd kansrekening bedreven op grond van experimenten met een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Op tamelijk gekunstelde wijze werden situaties die niet direct op deze wijze beschreven konden worden zo gemodelleerd dat zij toch in dit framewerk pasten. Meer en meer leidde dit tot onoverkomelijke moeilijkheden in de theorie. In 1934 doorbrak Kolmogorov de impasse door een axiomatische aanpak van de kansrekening voor te stellen.

Kansruimte

Bij kansrekening hebben we te maken met een willekeurige (niet-lege) verzameling Ω en een collectie deelverzamelingen daarvan, $\scriptstyle {\mathcal {F}}$, de gebeurtenissen. Op de collectie gebeurtenissen is een kans P (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling Ω kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt Ω de 'uitkomstenruimte' genoemd en de elementen van Ω uitkomsten. Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van Ω als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden vormen een speciale collectie $\scriptstyle {\mathcal {F}}$. De kans P moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zgn. axioma's van Kolmogorov:

1. Voor iedere gebeurtenis A geldt: P(A) ≥ 0 (een kans is niet negatief).
2. P(Ω) = 1 (de totale kans is genormeerd op een).
3. Voor een rij disjuncte gebeurtenissen (A_k), dus met $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ voor ongelijke i en j, geldt:

$P(\bigcup A_{k})=\sum P(A_{k})$.

(In woorden: voor gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kun je de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekenen als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.)

Een dergelijk drietal $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ heet kansruimte en is een bijzonder geval van wat in de wiskunde, specifiek de maattheorie, een maatruimte wordt genoemd.

Voorbeeld

Bij eenmaal gooien met een dobbelsteen is de uitkomstenruimte (verzameling mogelijke uitkomsten) Ω = {1,2,3,4,5,6}. Voor de gebeurtenissen kunnen we hier alle deelverzamelingen van Ω nemen. De kans op een van de ogenaantallen 1 tot en met 6, dus de kans op heel Ω, is 1. De kans op een van de ogenaantallen uit {1,2,3,5,6} is gelijk aan de kans op een uitkomst uit {1,5} plus de kans op een uitkomst uit {2,3,6}. Bij een zuivere dobbelsteen zal de kans op elk van de gebeurtenissen {1}, {2}, ...,{6} hetzelfde zijn en dus gelijk aan 1/6. Voor de hiervoor genoemde gebeurtenissen geldt dan:

$P(\{1,2,3,5,6\})={\tfrac {5}{6}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}=P(\{1,5\})+P(\{2,3,6\})$.

Verschillende interpretaties van het begrip kans

Het begrip kans is axiomatisch gedefinieerd en kan op verschillende wijze geïnterpreteerd kan worden. De belangrijkste interpretaties zijn:

• klassiek
• logisch
• frequentistisch
• subjectief

Klassiek

In de klassieke opvatting wordt aan elk van een eindig aantal, zeg n, uitkomsten die alle even waarschijnlijk zijn, de kans 1/n toegekend. Men spreekt ook wel van symmetrie. Deze definitie heeft als voordeel dat zij bruikbaar is zonder het experiment te hoeven uitvoeren. Deze interpretatie heeft dus niets van doen met (denkbeeldige) experimenten, maar geeft uitdrukking aan een kennispositie (epistemologische kans-interpretatie).

Logisch

De klassieke kansopvatting heeft als nadeel dat deze alleen toepasbaar is als een eindig aantal even waarschijnlijke opties kunnen worden gedefinieerd. Er zijn echter verschillende kansdefinities voorgesteld waarin het epistemologische kansbegrip verder wordt veralgemeniseerd. Dit wordt een 'logische' kansinterpretatie genoemd, omdat waarschijnlijkheid hierbij wordt gezien als de mate waarin je gegeven de beschikbare informatie mag concluderen dat een bepaalde conclusie 'waar' is. Daarbij is wordt de kansrekening gezien als uitbreiding op de deterministische logica, omdat logische implicaties niet enkel waar of onwaar kunnen zijn, maar een mate van waarschijnlijkheid bezitten.

Frequentistisch

Bij de frequentie-interpretatie vatten we de kans p op het optreden van een onzekere gebeurtenis op als het frequentiequotiënt van het optreden van die gebeurtenis in een zeer lange reeks experimenten. De kans is altijd een getal tussen 0 en 1, of in procenten uitgedrukt tussen 0 en 100%.

Subjectief

In de subjectieve kansopvatting is kans een subjectief begrip waarmee de mate van iemands persoonlijke overtuiging wordt aangegeven. Vaak wordt deze kansopvatting Bayesiaans genoemd, maar dat is in feite niet correct. Bayesiaanse statistiek is een logisch gevolg van een subjectieve kansopvatting, maar ook van de hieronder genoemde logische kansopvatting.

Voorbeelden

Dobbelstenen

Een voorbeeld van de frequentie-interpretatie is het werpen met een duidelijk niet zuivere munt. In een lange reeks worpen zal bv. blijken dat de kans op "kop" rond de waarde 0,57 varieert en deze waarde lijkt te naderen. De frequentist concludeerd vervolgens dat voor deze munt de kans op de uitkomst "kop" (bij benadering) gelijk is aan 0,57.

Een voorbeeld van symmetrie is het werpen met een zuivere munt. Zonder te werpen stellen we de kansen op de uitkomsten "kop" en "munt" beide op 1/2.

Stel nu echter dat ons verteld wordt dat onze munt onzuiver is, maar dat wijzelf geen enkel experiment met de munt hebben gedaan. Bij de epistemologische kans-opvatting is de kans op "munt" bij onze eerste experiment nog steeds 1/2, terwijl de frequentist zal beweren dat dat nu juist niet zo is. Zelfs na een enkel experiment weten we al meer en de aanhanger van de epistemologische kans-opvatting zal zijn kans aanpassen.

Bij een worp met een ideale (of: zuivere) dobbelsteen, heeft vanwege de symmetrie elke zijde dezelfde kans, dus 1/6, om boven te komen. Ook hier is het onze kennispositie die ons deze toewijzing laat maken.

De uitkomst van het gooien van dobbelstenen is bij een experiment niet alleen gegeven door het al of niet zuiver-zijn van de dobbelsteen, ook de beginvoorwaarden van het werpen spelen een rol. Dit laat nogmaals zien dat de kans 1/6 niets anders is dan een epistemologisch verantwoorde toekenning, men kent immers de experimentele situatie niet.

Kernbegrippen binnen de kansrekening

Kernbegrippen binnen de kansrekening zijn de stochastische variabele en de direct daarmee samenhangende kansverdeling. Andere belangrijke begrippen binnen de kansrekening en statistiek zijn verwachtingswaarde en variantie. Voor meer informatie hierover verwijzen we naar de (zeer uitgebreide) literatuur over kansrekening, waaronder het wikiboek Discrete Kansrekening.

---

Voetnoten: