Lineaire algebra/Inleiding lineaire omhulsels

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Deze pagina gaat over het begrip 'lineaire omhulsels'. Deze pagina is een vervolg op hoofdstuk 1, lineaire combinaties.

Er wordt in enkele teksten gebruik gemaakt van de schrijfwijze [2,1]T, dt betekent niet meer dan \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}.

[bewerken] Lineair omhulsel?

1. Wat is een lineair omhulsel

Een lineaire omhulsel is een verzameling van alle lineaire combinaties.

2. Voorbeeld van een lineair omhulsel

Neem vector A: \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} . Wat is het lineair omhulsul van vector A?
De lineaire combinaties van vector A: [0,0,0]T zijn de vectoren k*\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}, k \in \R .
Het lineair omhulsul is dus: L(\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}) = { k* \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} | k \in \R }


[bewerken] Lineaire omhulsels in \R^2

In R2 > zijn er drie type lineaire omhulsels mogelijk. En lineair omhulsel dat de oorsprong beschrijft, dat een lijn beschrijft en de hele ruimte \R^2.

1. De oorsprong

De oorsprong is het enige punt dat door een lineair omhulsel kan worden beschreven. Het bevat dan ook slechts één vector, de nulvector.
L: (\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}) = { \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} }

2. Een lijn (door de oorsprong)

Deze verzameling vloeit bijvoorbeeld uit één enkele vector waaruit de betreffende combinaties worden bepaald. Zoals bijvoorbeeld bij de vector [4,-6]T.
L: (\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}) = { k*\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix} | k\in \R }

3. De ruimte R3

De ruimte R3 is op te spannen met de twee eenheidsvectoren (e1 en e2)
L: (\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}) = { k* \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + l*\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} }


[bewerken] Lineaire omhulsels in \R^3

In R3 zijn er vier type lineaire omhulsels mogelijk. En lineair omhulsel dat de oorsprong beschrijft, dat een lijn beschrijft, een vlak beschrijft of de hele ruimte \R^3 beschrijft.

1. De oorsprong Hiervoor geldt hetzelde als in R2: De oorsprong is het enige punt dat door een lineair omhulsel kan worden beschreven. Het bevat dan ook slechts één vector, de nulvector.

L: (\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}) = { \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} }

2. Een lijn (door de oorsprong)

Deze verzameling vloeit bijvoorbeeld uit één enkele vector waaruit de betreffende combinaties worden bepaald. Zoals bijvoorbeeld bij de vector [4,1,-6]T.
L: (\begin{bmatrix}4\\1\\-6\end{bmatrix}) = { k*\begin{bmatrix}4\\1\\-6\end{bmatrix} | k\in \R }

3. Een vlak (door de oorsprong)

Deze verzameling is een verzameling van twee vectoren (onderling onafhankelijk) die samen een vlak in R3 opspannen. Zoals bijvoorbeeld de vectoren [3,2,1]T en [-8,-1,10]T.
L: (\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-8\\-1\\10\end{bmatrix}) = { k* \begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix} + l*\begin{bmatrix}-8\\-1\\10\end{bmatrix} | k,l\in \R }

4. De ruimte \R^3

De ruimte \R^3 is op te spannen door middel van de drie eenheidsvectoren:
L: (\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}) = { k* \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} + l*\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} + m*\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} | k,l,m\in \R }
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen