Fourieranalyse/Complexe Fourierreeks

Men kan de fourierreeks zoals gedefinieerd in het vorige hoofdstuk op elegante wijze weergeven mbv. complexe e-machten. Er geldt immers:

$\,\tilde{f}(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx)) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n e^{-inx}$ ,

waarin:

$\,\alpha_0=a_0$ ,

$\,\alpha_n=\frac 12(a_n+b_ni)$

en

$\,\alpha_{-n}=\overline{\alpha_n}$

In plaats van sinussen en cosinussen treden hier de complexe e-machten $\, e^{inx}$ op als orthogonaal stelsel. Er geldt:

$\frac 1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{imx} e^{inx}dx = \delta_{mn}$ .

Het stelsel is dus zelfs orthonormaal m.b.t. het inproduct:

$\lang f,g \rang = \frac 1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx$ .

Voor de coëfficiënten geldt dus:

$\,\alpha_n=\frac 1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{inx}dx$