Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Verwachting van functies van stochastische variabelen

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

[bewerken] 6.3 Verwachting van functies van stochastische variabelen

Vaak moeten we de verwachting bepalen van een functie van een of meer s.v.-en. We kijken eerst eens naar een voorbeeld.

Voorbeeld 1
We werpen zolang een zuivere munt tot we "munt" gooien. De s.v. N stelt het benodigde aantal worpen voor. N is geometrisch verdeeld met parameter 1/2. Als we n worpen nodig hadden, krijgen we een bedrag 2-n uitbetaald. Noem de uitbetaling X; de uitbetaling is een functie van N, nl. X = 2-N. Voor de verwachte uitbetaling vinden we:

EX = \sum_{x\in S_X} x\;P(X=x) = \tfrac 12 P(X=\tfrac 12 ) + \tfrac 14 P(X=\tfrac 14 ) + \tfrac 18 P(X=\tfrac 18 ) + ... .

Nu is

P(X=2^{-n}) = P(N=n) = (\tfrac 12 )^n ,

dus

EX = \sum_{n=1}^\infty (\tfrac 12 )^n(\tfrac 12 )^n =\sum_{n=1}^\infty (\tfrac 14 )^n = \frac{\tfrac 14 }{1-\tfrac 14 }= \tfrac 13 .

We zien dat we op vanzelfsprekende wijze kunnen schrijven:

EX = E2^{-N} = \sum_{n=1}^\infty (\tfrac 12 )^nP(N=n) ,

waarin EX is uitgedrukt in de verdeling van N. We hoeven dan niet eerst na te gaan wat de verdeling van X is.

Wat we in het voorbeeld hebben gezien, geldt heel algemeen, en wordt verwoord in de volgende stelling.

Stelling 6.3.1
Laat X1,...,Xn s.v.-en zijn en g: \R^n\to \R, dan is

Eg(X_1,...,X_n) = \sum_{x_1,...,x_n} g(x_1,...,x_n)P(X_1= x_1,...,X_n= x_n) ,

waarbij dus gesommeerd wordt over alle mogelijke waarden (x1,...,xn) van (X1,...,Xn).

Bewijs: Noem X = (X1,...,Xn) en x = (x1,...,xn). Dan geldt voor de s.v. g(X):

Eg(X) = \sum_{s\in S} g(X(s))p(s) = \sum_{x} g(x)P(X=x)


We hoeven dus als we de verwachting van een functie Y = g(X) van X willen bepalen, niet eerst de verdeling van Y te berekenen, maar kunnen met bovenstaande stelling Eg(X) direct via de verdeling van X bepalen.

Voorbeeld 2 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We kunnen Z en M opvatten als functies van de ogenaantallen X en Y van resp. de eerste en tweede worp: Z = X + Y en M = \max(X,Y). We berekenen:

EZ = E(X + Y) = \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 (x+y) P(X=x\ en\ Y=y) = \tfrac 1{36} \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 (x+y) = 7

en

EM = E\max(X,Y) = \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 \max(x,y)P(X=x\ en\ Y=y) = \tfrac 1{36} \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 \max(x,y) =
= \tfrac 1{36} \sum_{m=1}^6 m(2m-1) = \tfrac{161}{36} ,

waarbij we bij de laatste sommatie bedenken dat er (2m-1) punten (x,y) zijn waarvoor \max(x,y) = m.

Merk op dat E(X + Y) = EX + EY; in een volgende paragraaf zullen we zien dat deze relatie algemeen geldt.

We vergelijken het resultaat met een berekening van EZ en EM via de verdelingen van Z en M:

EZ = \sum_{z=2}^{12} z.P(Z=z) = 2 \times \tfrac 1{36} + 2 \times \tfrac 3{36} + 4 \times \tfrac 3{36} + \ldots + 12 \times \tfrac 1{36} = 7

en

EM = \sum_{m=1}^6 m.P(M=m) = 1 \times \tfrac 1{36} + 2 \times \tfrac 3{36} +...+ 6 \times \tfrac{11}{36} = \tfrac {161}{36} .

 

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen