Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Verwachting van bekende discrete verdelingen

Uit Wikibooks

[bewerken] 6.2 Verwachting van bekende discrete verdelingen

In deze paragraaf sommen we de verwachtingswaarde van enkele bekende discrete verdelingen op. Aangezien de verwachting van een s.v. X alleen afhankelijk is van de kansverdeling van X, spreken we ook wel van de verwachtingswaarde van de (bijbehorende) verdeling. We vermelden hieronder steeds de verdeling en denken ons daarbij een s.v. X met die verdeling.

Stelling 6.2.1
1.Ontaarde verdeling (in het punt a).

$EX = a\cdot 1 = a$ .

2. Alternatieve verdeling (met parameter p = p_X(1)).

$EX = 0\cdot (1-p) + 1 \cdot p = p$ .

3. Uniforme verdeling (op de getallen $x_1,x_2,\ldots ,x_N\,$ ).

$EX = x_1\tfrac 1N + x_2\tfrac 1N + \ldots + x_N\tfrac 1N = \tfrac 1N \sum x_i = \bar{x}$ .

4. Binomiale verdeling (met parameters n en p).

$EX = \sum_{k=0}^n k\tbinom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} =$

$= np \sum_{m=0}^{n-1}\tbinom{n-1}{m}p^m(1-p)^{n-1-m} = np$

5. Hypergeometrische verdeling (met parameters N, M en n). $EX = \sum_{m=0}^n m\frac{{M \choose m}{N-M \choose n-m}}{{N \choose n}} = n\frac MN$

6. Geometrische verdeling (met parameter p).

$EX = \sum_{n=1}^\infty n (1-p)^{n-1}p = p\frac{d}{dz}\left.\sum_{n=1}^\infty z^n \right|_{z=1-p} =p\frac{d}{dz}\left.\left( \frac 1{1-z}\right)\right|_{z=1-p} = \frac 1p$

7. Poisson-verdeling (met parameter m).

$EX = \sum_{n=0}^\infty n\frac {\mu^n}{n!} e^{-\mu} = \mu \sum_{n=1}^\infty \frac {\mu^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\mu} = \mu$

We passen de bovenstaande kennis toe in een tweetal gevallen.

Voorbeeld 1
Het verwachte aantal zessen bij 25 keer werpen met een zuivere dobbelsteen is dus 25 × 1/6, want het aantal zessen X is B(25,1/6)-verdeeld.

Voorbeeld 2
Het verwachte benodigde aantal worpen om met een zuivere dobbelsteen zes te gooien is dus 6, want het benodigde aantal worpen X is geometrisch verdeeld met parameter 1/6.

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.

Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Verwachting van bekende discrete verdelingen

Uit Wikibooks

[bewerken] 6.2 Verwachting van bekende discrete verdelingen

Weergaven

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Afdrukken/exporteren

Hulpmiddelen