Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Functies van stochastische variabelen

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

[bewerken] 5.4 Functies van stochastische variabelen

Als X een (discrete) stochastische variabele is, is ook de compositie Y = goX van X en een functie g (meestal geschreven als g(X)) weer een s.v. We kunnen dat schematisch als volgt weergeven:

\ \ X\quad\quad\quad g
S -\!\!\!-\!\!\! \to \R -\!\!\!-\!\!\! \to \R

Y = g\circ X
S -\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\! \to \R


Zo is bv. Y = (X-3)2 een (discrete) stochastische variabele; immers Y(s) = (X(s)-3)2 bepaalt weer een functie op de uitkomstenruimte S. Ook functies van de componenten X1,X2,...,Xn van een stochastische vector, bv. X1 + X2 - X3 , 2(X1 - Xn) zijn weer s.v.-en. In het voorgaande zijn we eigenlijk al zulke functies van s.v.-en tegengekomen. Bij het twee keer werpen van een dobbelsteen is het maximale ogenaantal Z van beide worpen te schrijven als Z = max(X,Y), waarin X en Y de ogenaantallen van respectievelijk de eerste en tweede worp waren. Algemeen geldt de volgende stelling.

Stelling 5.4.1
Laat X1,X2,...,Xn s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij

g: \R^k \to \R

voor zekere k ≤ n, dan is ook g(X1,...,Xk) een s.v. op (S,P).

Hoe kunnen we uit de gegeven simultane kansverdeling van een n-tal s.v.-en X1,X2,...,Xn de verdeling van een functie g(X1,X2,...,Xk) van een k- tal van deze s.v.-en bepalen? Eigenlijk hebben we dit al gedaan, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt.

Voorbeeld 1 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
De simultane verdeling van het ogenaantal X van de eerste worp en van het ogenaantal Y van de tweede worp wordt voor elke x = 1,2,...,6 en y = 1,2,...,6 gegeven door: P(X=x en Y=y) = 1/36. De verdeling P(Z=z) van het totale ogenaantal Z = X + Y kunnen we als volgt bepalen; bv. voor z=5:

P(Z=5) = P(X=1 en Y=4 of X=2 en Y=3 of X=3 en Y=2 of X=4 en Y=1) =
= P(X=1 en Y=4) + P(X=2 en Y=3) + P(X=3 en Y=2) + P(X=4 en Y=1) =3/36.

Algemeen geldt:

Stelling 5.4.2
Laat X1,...,Xk s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij

g: \R^k \to \R ,

dan wordt de kansverdeling van Y = g(X1,...,Xk) bepaald door:

S_Y = \{g(x_1,...,x_k)|(x_1,...,x_k) \in S_X\} = \{g(x_1(s),...,x_k(s))|s\in S\} ,

en

\,p_Y(y) = \sum_{\{y=g(x_1,...,x_k)\}} p_{X_1,...,X_k}(x_1,...,x_k) ,

voor y ∈ SY.

Bewijs: We bewijzen alleen de tweede uitspraak; we stellen X = (X1,...,Xk) en x = (x1,...,xk):

\,p_Y(y) = P(g(X)=y) = \sum_{\{s:g(X(s))=y\}} p(s) = \sum_{\{x:g(x)=y\}} p_X(x).

Opmerking 1
We kunnen ook g zelf opvatten als s.v. op de kansruimte (SX,PX) en de theorie van hoofdstuk 2 toepassen.

In het bijzonder zullen we kijken naar de som van twee s.v.-en X en Y (gedefinieerd op dezelfde kansruimte). De resultaten laten zich gemakkelijk generaliseren naar een n-tal, maar dat zullen we niet expliciet doen.


Stelling 5.4.3
Laat X en Y een simultane verdeling hebben, dan wordt de verdeling van X + Y voor

z \in S_{X+Y} = \{x+y|x \in S_X, y\ \in S_Y\}

gegeven door de kansfunctie

p_{X+Y}(z) = P(X+Y=z) = \sum_{x+y=z} p_{X,Y}(x,y) = \sum_{x\in S_X} p_{X,Y}(x,z-x) .

Als X en Y o.o. zijn kunnen we nog schrijven:

p_{X+Y}(z) = \sum_{x\in S_X} p_{X,Y}(x,z-x) =\sum_{x\in S_X} p_{X}(x)p_Y(z-x) ,

voor z \in S_X+Y

Anders geschreven:

P(X+Y=z) = \sum_{x\in S_X} P(X=x)P(Y=z-x) .

De beide laatste sommaties noemen we wel convolutiesommen en we duiden de verdeling pX+Y van X+Y aan als de convolutie van pX en pY.

Definitie 5.4.1
Onder de convolutie van twee kansfuncties p1 en p2, verstaan we de functie p1* p2, gedefinieerd door:

\,(p_1 * p_2)(x) = \sum_{u} p_1(u)p_2(x-u). .

Stelling 5.4.4
De convolutie p1 * p2 van twee kansfuncties p1 en p2 is zelf ook een kansfunctie.

We kunnen de verdeling van de som van twee onafhankelijke s.v.-en als volgt karakteriseren:

Stelling 5.4.5
Als X en Y onafhankelijke s.v.-en zijn, is de kansverdeling pX+Y van hun som de convolutie van hun kansfuncties pX en pY; dus pX+Y = pX * pY.

In de praktijk is de convolutiesom alleen van belang als er ook daadwerkelijk "convolutie" optreedt, dwz. als (pX*pY)(z) niet slechts bepaald wordt door een of enkele toevallig van 0 verschillende summanden in de convolutiesom ∑ pX(x)p2(z-x). Daadwerkelijke convolutie doet zich bv. voor als X en Y geheelwaardige s.v.-en zijn. Overigens blijkt dan dat slechts in enkele bijzondere gevallen de convolutiesom te berekenen is.

We geven nu enkele voorbeelden van de berekening van de verdeling van functies van s.v.-en.

Voorbeeld 2
Zij X het ogenaantal bij een worp met een dobbelsteen en Y = (X-3)2. In de volgende tabel staan de relevante grootheden benodigd om de verdeling van Y te bepalen.


     x           1      2      3      4      5      6    totaal
──────────────┼────────────────────────────────────────┼─────────                     
  P(X=x)        1/6    1/6    1/6    1/6    1/6    1/6    6/6
  y=(x-3)2       4      1      0      1      4      9

Daaruit lezen we af: SY = {0,1,4,9} en voor de kansfunctie van Y:

     y           0      1      4      9     totaal
──────────────┼─────────────────────────┼─────────                 
  P(Y=y)        1/6    2/6    2/6    1/6     6/6

want bv. P(Y=4) = P(X=1 of X=5) = P(X=1) + P(X=5) = 2/6.

Voorbeeld 3 (multinomiale verdeling; vervolg)
We bekijken een multinomiale verdeling met parameters n, 4 en p1,p2,p3 und p4, en noemen de s.v.-en X, Y, Z en U. Wat is de verdeling van V = (X,Y,Z+U)?

S_V = \{(x,y,z+u)|(x,y,z,u) \in S_{X,Y,Z,U}\} =\{(k,l,m)|k + l+ m = n\}

en

p_Y(k,l,m) = \sum_{z+u=m} p_{X,Y,Z,U}(k,l,z,u) = \sum_{z+u=m} \frac{n!}{k!l!z!u!}p_1^kp_2^lp_3^zp_4^u =
= \frac{n!}{k!l!m!}p_1^k p_2^l \sum_{z} \frac{m!}{z!(m-z)!}p_3^zp_4^{m-z} = \frac{n!}{k!l!m!}p_1^k p_2^l (p_3+p_4)^m ,

dus een multinomiale verdeling met parameters n, 3 en p1,p2,p3+ p4.

Voorbeeld 4
Laat X en Y o.o. zijn en beide binomiaal verdeeld met parameters resp. m en p en n en p. Dan vinden we voor de verdeling van X+Y:

SX+Y = {x+y|x = 0,1,...,m en y = 0,1,...,n} = {0,1,...,m+n}

en

p_{X+Y}(z) = (p_X*p_Y)(z) = \sum_{x=0}^m p_X(x)p_Y(z-x) =
=\sum_{x=0}^m \tbinom{m}{x} p^x(1-p)^{m-x}\tbinom{n}{z-x} p^{z-x}(1-p)^{n-z+x} =
=p^z(1-p)^{m+n-z} \sum_{x=0}^m \tbinom{m}{x}\tbinom{n}{z-x} =
=\tbinom{n+m}{z} p^z(1-p)^{m+n-z}.

dus een binomiale verdeling met parameters m+n en p.

Als de s.v.-en X, Y en Z o.o. zijn, volgt automatisch dat ook bv. X+Y en Z2 o.o. zijn. We formuleren deze eigenschap algemeen.

Stelling 5.4.6
Laat de s.v.-en X1,X2,...,Xn onderling onafhankelijk zijn en zij g: Rk → R voor zekere k ≤ n, dan zijn ook g(X1,...,Xk), Xk+1,...,Xn o.o.

Voorbeeld 5 (drie worpen met een dobbelsteen)
We beschrijven het experiment door de o.o. s.v.-en X,Y en U, die de ogenaantallen van resp. de eerste, tweede en derde worp voorstellen. De simultane verdeling wordt dus gegeven door P(X=x en Y=y en U=u) = 1/216 voor x,y,u = 1,2,...,6.

We mogen nu concluderen dat bv. de som X + Y van de ogenaantallen van de eerste twee worpen onafhankelijk is het aantal ogen U bij de derde worp. Ook zijn bv. X en max(Y,U) o.o.

 

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen