Analyse/Inleiding in Integratie

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Nota bene: aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.

Inhoud

[bewerken] Riemann-sommen

f(x) = x2 op het interval [0,3] onderverdeeld in 5 rechthoeken.

Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie f(x) op het interval [a,b] te benaderen, verdelen we het interval in n stukjes met breedte Δx en bepalen de oppervlakte van de rechthoeken boven deze stukjes, waarvan de "middens juist op de grafiek vallen". De hoogte van de k-de rechthoek wordt dan gegeven door f(\tfrac{1}{2}\Delta x + (k-1) \Delta x ), zodat de oppervlakte van deze rechthoek gelijk is aan:

O_k = f(\tfrac{1}{2}\Delta x + (k-1) \Delta x ) \cdot \Delta x.

De oppervlakte O onder de grafiek wordt dan benaderd door:

O \approx \sum_{k=1}^n O_k = \sum_{k=1}^nf(\tfrac{1}{2}\Delta x + (k-1)\Delta x) \cdot \Delta x

Het spreekt voor zich dat een grotere n, en dus een kleinere Δx een nauwkeurigere benadering oplevert.

[bewerken] Voorbeeld

We willen de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x2 en de x-as benaderen op het interval (0,3). We kiezen n = 30, dus \Delta x=\tfrac{1}{10}. De hoogte van de k-de rechthoek is dan

f(\tfrac 12 \Delta x + (k-1)\Delta x) = f(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{10} + (k-1)\tfrac{1}{10})= (\tfrac{1}{20} + (k-1)\tfrac{1}{10})^2.

De benadering voor de oppervlakte wordt dan:

O \approx \sum_{k=1}^{30} f(\tfrac{1}{2}\Delta x + (k-1)\Delta x) \Delta x = \sum_{k=1}^{30} (\tfrac{1}{20} + (k-1) \tfrac{1}{10})^2 \tfrac{1}{10} = 8{,}9975.

Vergelijk dit met de werkelijke waarde 9.

Wanneer we de figuur in 300 rechthoekjes, dus met \Delta x = \tfrac{1}{100}, krijgen we een betere benadering, namelijk O \approx 8{,}999975.

[bewerken] Integralen

In het voorbeeld hebben we gezien dat we een betere benadering verkrijgen naarmate we Δx dichter bij 0 kiezen. Nemen we de limiet voor Δx naar 0, dan spreken we over een integraal:

\int_{a}^{b}f(x)\,\textrm{d}x = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \cdot \Delta x

Deze integraal spreken we uit als: 'De integraal van a naar b over f(x) dx'.

[bewerken] Hoofdstelling van de Integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening geeft een verband tussen de primitieven van een functie en de integraal:

Zij f:[a,b]\mapsto\mathbb{R} continu en F' = f\,\!, dan geldt:

\int_{a}^{b}f(x)\,\textrm{d}x = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)

Dit verband wordt ook wel geschreven als:

f(b) = f(a) + \int_{a}^{b}f'(x)\,\textrm{d}x


[bewerken] Historie

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen