Scalaire velden en vectorvelden [ bewerken ] De onderstaande lijst met feiten uit de vectormeetkunde wordt bekend verondersteld.
A
⋅
B
=
s
c
a
l
a
i
r
=
A
x
B
x
+
A
y
B
y
+
A
z
B
z
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =scalair=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}}
A
×
B
=
v
e
c
t
o
r
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =vector}
(
A
×
B
)
x
=
A
y
B
z
−
A
z
B
y
{\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{x}=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}}
(
A
×
B
)
y
=
A
z
B
x
−
A
x
B
z
{\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{y}=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}}
(
A
×
B
)
z
=
A
x
B
y
−
A
y
B
x
{\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{z}=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}}
A
×
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =0}
A
⋅
(
A
×
B
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=0}
A
⋅
(
B
×
C
)
=
(
A
×
B
)
⋅
C
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} }
A
×
(
B
×
C
)
=
B
(
A
⋅
C
)
−
C
(
A
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)}
En uit de gewone calculus:
Δ
f
(
x
,
y
,
z
)
=
∂
f
∂
x
Δ
x
+
∂
f
∂
y
Δ
y
+
∂
f
∂
z
Δ
z
{\displaystyle \Delta f\left(x,y,z\right)={\dfrac {\partial f}{\partial x}}\Delta x+{\dfrac {\partial f}{\partial y}}\Delta y+{\dfrac {\partial f}{\partial z}}\Delta z}
∂
2
f
∂
x
∂
y
=
∂
2
f
∂
y
∂
x
{\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}
We introduceren de vector-operator
∇
{\displaystyle \nabla }
nabla , ook wel del genoemd):
∇
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle \nabla =\left({\dfrac {\partial }{\partial x}},{\dfrac {\partial }{\partial y}},{\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)}
Waarmee we bedoelen:
∇
x
=
∂
∂
x
,
∇
y
=
∂
∂
y
,
∇
z
=
∂
∂
z
{\displaystyle \nabla _{x}={\dfrac {\partial }{\partial x}},\;\nabla _{y}={\dfrac {\partial }{\partial y}},\;\nabla _{z}={\dfrac {\partial }{\partial z}}}
De gradient van een scalair veld is de operator
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
T
{\displaystyle \nabla T}
De divergentie van een vectorveld is het inproduct van
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
⋅
h
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {h} }
h = een scalairDe rotatie van een vectorveld is het uitproduct van
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
×
h
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {h} }
h = een vectorTweede orde afgeleiden van vector velden [ bewerken ] In de voorgaande paragraaf hebben wij ons beperkt tot eerste orde afgeleiden. Uiteraard zijn er ook tweede orde afgeleiden. Mogelijke combinaties zijn:
a)
∇
⋅
(
∇
T
)
{\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla T\right)}
b)
∇
×
(
∇
T
)
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla T\right)}
c)
∇
(
∇
⋅
h
)
{\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {h} \right)}
d)
∇
⋅
(
∇
×
h
)
{\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {h} \right)}
e)
∇
×
(
∇
×
h
)
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {h} \right)}
