Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Experiment en uitkomstenruimte

1.1 Experiment en uitkomstenruimte

In de kansrekening (of waarschijnlijkheidsrekening) houden we ons bezig met (wiskundige) modellen voor het beschrijven van experimenten waarin het toeval een rol speelt. We kunnen daarbij denken aan het werpen van een dobbelsteen of het meten van de levensduur van een bepaald type gloeilamp. In deze gevallen is duidelijk welke handelingen we moeten verrichten om een uitkomst van het experiment te verkrijgen. De uitkomst zelf staat echter in het algemeen niet van te voren vast, maar pas nadat het experiment is uitgevoerd. Dergelijke experimenten noemen we stochastisch.

  Onder een toevalsexperiment (of stochastisch experiment) verstaan we een experiment dat, onder gelijke omstandigheden herhaald, niet noodzakelijk tot gelijke uitkomsten leidt.

Opmerking 1

In het vervolg zullen we steeds van experiment spreken als we een stochastisch experiment bedoelen.

Het uitvoeren van een experiment leidt altijd tot een resultaat: de uitkomst van het experiment. Bij het werpen van een dobbelsteen is de uitkomst het aantal geworpen ogen; de geboorte van een baby leidt tot een van de uitkomsten "jongen" of "meisje"; de uitkomst bij het meten van de levensduur van een gloeilamp is de vastgestelde levensduur, een positief reëel getal, en het lanceren van de satelliet leidt tot een van de uitkomsten "succes" of "mislukking".

Bij de uitvoering van een experiment kan de uitkomst zelf van veel belang zijn. Denk aan een spelletje dobbelen of roulette, of aan ouders die graag een zoon willen hebben. In de kansrekening gaat het echter niet om een specifieke uitkomst, maar om de mogelijke uitkomsten. Hoewel de uitkomst van een stochastisch experiment niet a-priori vaststaat, kunnen we wel vaststellen welke uitkomsten mogelijk zijn. Deze mogelijke uitkomsten horen onverbrekelijk bij het experiment en staan, in tegenstelling tot de uitkomst, ook vast voordat het experiment is uitgevoerd. De verzameling van alle mogelijke uitkomsten noemen we de uitkomstenruimte van het experiment. Deze verzameling duiden we gewoonlijk aan door S (van Engels: Sample space).

  De uitkomstenruimte S (S ≠ ∅) van een experiment is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten; een element s ∈ S heet uitkomst. We spreken van een discrete uitkomstenruimte als de uitkomstenruimte eindig dan wel aftelbaar oneindig is.

Opmerking 2

We zullen ons in dit boek uitsluitend bezighouden met discrete uitkomstenruimten; vandaar de titel Discrete Kansrekening. Met de bestudering hiervan wordt een goed beeld gekregen van wat kansrekening inhoudt en een goede basis gelegd voor verdere bestudering van de algemene theorie.

Een experiment geeft aanleiding tot bepaalde gebeurtenissen. Zo kunnen we bij het werpen van een dobbelsteen spreken over de gebeurtenis dat het geworpen aantal ogen even is of de gebeurtenis dat dit aantal groter dan 3 is. De gebeurtenis "aantal ogen is even" treedt op als de uitkomst 2, 4 of 6 is. Daarom identificeren we deze gebeurtenis met de deelverzameling {2,4,6} van de uitkomstenruimte. Zo is de gebeurtenis "aantal ogen groter dan 3" identiek met de deelverzameling {4,5,6}. Algemeen zullen we gebeurtenissen opvatten als deelverzamelingen van de uitkomstenruimte.

  Een gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomstenruimte S.

We geven gebeurtenissen veelal aan met hoofdletters uit het begin van het alfabet, dus A, B, C etc.

Voorbeeld 1 (ontaarde situatie)

Een experiment met één mogelijke uitkomst u. De uitkomstenruimte is een verzameling met slechts één element: S = {u}. Er is eigenlijk geen sprake van toeval.

Voorbeeld 2 (alternatief)

We werpen een munt. Er zijn twee mogelijke uitkomsten K(ruis) en M(unt). We nemen dus als uitkomstenruimte de verzameling S = {K,M}. Een gebeurtenis is bv. {K} = "we hebben kruis geworpen"; deze gebeurtenis is praktisch niet verschillend van de uitkomst K.

Voorbeeld 3 (dobbelsteen)

We werpen een dobbelsteen; het aantal geworpen ogen is de uitkomst van het experiment. De uitkomstenruimte is dus S = {1,2,3,4,5,6}. Gebeurtenissen zijn bv. E = {2,4,6} (we gooien een even ogenaantal), D = {1,2} (we gooien minder dan 3) of A = {1,6} (we gooien 1 of 6).

Voorbeeld 4 (twee worpen met een dobbelsteen)

We werpen twee maal een dobbelsteen. Als uitkomst van dit experiment nemen we het getallenpaar bestaande uit het aantal geworpen ogen bij de eerste worp en dat bij de tweede worp. De uitkomstenruimte is S = {(1,1),...,(1,6),(2,1),...,(2,6),...,(6,6)} = {(i,j)|i = 1,2,...,6 en j = 1,2,...,6} en bevat dus 36 uitkomsten. Grafisch kan men deze uitkomstenruimte als volgt voorstellen:

Figuur 1.1.1: uitkomstenruimte bij twee worpen met een dobbelsteen.

Een gebeurtenis is bv. A = {(1,3),(2,2),(3,1)} (de som van de ogen van beide dobbelstenen is 4); in de figuur zijn de uitkomsten die tot A behoren aangegeven door "x". De gebeurtenis B dat beide worpen hetzelfde aantal ogen opleveren is B = {(1,1),(2,2),...,(6,6)}.

Voorbeeld 5

Uit een partij bestaande uit 1000 IC's worden er 10 gekozen. Deze 10 IC's worden elk getest en goedgekeurd of afgekeurd. De uitkomst van dit experiment is het aantal afgekeurde IC's; als uitkomstenruimte nemen we: S = {0,1,...,10}. Een gebeurtenis is A = {0,1,2} (dwz. er zijn ten hoogste twee afgekeurde IC's).

Voorbeeld 6

We werpen een dobbelsteen zo vaak tot voor het eerst 6 boven komt. Het aantal worpen vatten we op als uitkomst van het experiment; de uitkomstenruimte is dan S = {1,2,...}. Deze uitkomstenruimte is niet eindig, zoals in de voorgaande voorbeelden, maar aftelbaar oneindig. Een gebeurtenis is bv. A = {1,2,3,4,5} (dwz. om 6 te gooien, hoefden we niet meer dan 5 keer te werpen).

Voorbeeld 7

De levensduur van een gloeilamp kan men beschouwen als de uitkomst van een experiment. Aangezien een lamp op ieder willekeurig tijdstip defect kan raken, moeten we als uitkomstenruimte nemen S = [0,∞). Deze uitkomstenruimte is niet meer aftelbaar. Een gebeurtenis is bv. A = (1000,∞) (de lamp brandde langer dan 1000). Met zulke niet-discrete uitkomstenruimten houden we ons in dit boek niet bezig.

Aangezien gebeurtenissen gedefinieerd zijn als verzamelingen, kunnen we aan verschillende begrippen uit de verzamelingenleer een voor de kansrekening eigen interpretatie geven (de begrippen worden bekend verondersteld).

-De uitkomstenruimte S zelf, in de verzamelingenleer als universele verzameling aangeduid, is ook een gebeurtenis, die we de zekere gebeurtenis noemen; aangezien elke uitkomst in S ligt, treedt deze gebeurtenis dus altijd op.

-Ook de lege verzameling ∅ is een gebeurtenis; we noemen die de onmogelijke gebeurtenis, omdat geen enkele uitkomst element is van ∅ en deze gebeurtenis dus nooit optreedt.

-Een gebeurtenis {s} die slechts één uitkomst s bevat, een singleton, noemen we een elementaire gebeurtenis. Zo'n gebeurtenis is praktisch gesproken niet verschillend van de uitkomst s, maar formeel daarvan verschillend.

-Het complement (t.o.v. S) van A:

${\overline {A}}=A^{c}=S\setminus A$,

heet complementaire gebeurtenis van A, dus de gebeurtenis die optreedt als A niet optreedt.

-De vereniging A ∪ B van twee gebeurtenissen A en B is de gebeurtenis die optreedt als A optreedt of B optreedt.

-De doorsnede AB (= A ∩ B) van twee gebeurtenissen A en B is de gebeurtenis die optreedt als A en B (beide) optreden.

-Indien A ⊂ B (A is een deelverzameling van B), dan zeggen we: A impliceert B, dwz. als A optreedt, treedt ook B op.

In de kansrekening spelen gebeurtenissen die niet gelijktijdig kunnen optreden een belangrijke rol; we geven daarom de volgende definitie:

  De gebeurtenissen A en B noemen we disjunct (of elkaar uitsluitend) als AB = ∅, dwz. A en B kunnen niet gelijktijdig optreden.

We kunnen deze definitie op voor de hand liggende wijze uitbreiden naar een rij gebeurtenissen, bestaande uit een aftelbaar aantal gebeurtenissen (A_i), dwz. de rij is eindig (A₁,A₂,...,A_n) of de rij is aftelbaar oneindig (A₁,A₂,...). In beide gevallen duiden we de rij aan met (A_i).

  We spreken van een rij disjuncte (of elkaar uitsluitende) gebeurtenissen (A_i), als A_iA_j = ∅ voor elk mogelijk paar (i,j) waarvoor i ≠ j.

-Voor een rij gebeurtenissen (A_i) bedoelen we met $\bigcap A_{i}$ (zowel in het eindige als in het aftelbaar oneindige geval) de gebeurtenis die optreedt als elk van de gebeurtenissen A_i optreedt en met $\bigcup A_{i}$ de gebeurtenis die optreedt als ten minste een van de gebeurtenissen A_i optreedt.

De volgende eigenschappen van verzamelingen worden bekend geacht:

Stelling 1.1.1 (eigenschappen van gebeurtenissen)

(a) $A(B\cup C)=AB\cup AC;\,A\cup BC=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

(b) $A\cup B=A\cup A^{c}B;\,B=AB\cup A^{c}B$

(c) $(\bigcup A_{n})^{c}=\bigcap A_{n}^{c};(\bigcap A_{n})^{c}=\bigcup A_{n}^{c};$(regels van De Morgan).

  De rij disjuncte gebeurtenissen (A_i) noemen we een partitie van de gebeurtenis B als $B=\bigcup A_{i}$. Een partitie wordt ook wel aangeduid als categorisch systeem.

Voorbeeld 8

Op een school zitten 1000 leerlingen waaronder 600 meisjes. De school bestaat uit de afdelingen MAVO, HAVO en VWO. Uit deze leerlingen wordt er één gekozen. Bij dit "experiment" kunnen we de volgende gebeurtenissen omschrijven:

M treedt op als de gekozen leerling een meisje is,

J treedt op als de gekozen leerling een jongen is,

A treedt op als de gekozen leerling MAVO volgt,

B treedt op als de gekozen leerling HAVO volgt,

C treedt op als de gekozen leerling VWO volgt.

De uitkomst van het experiment is een leerling s en de uitkomstenruimte S is de verzameling van alle 1000 leerlingen. M is een deelverzameling van S, namelijk de verzameling van alle meisjes, J die van alle jongens, A die van alle MAVO-leerlingen, enz. We zien nu onder meer het volgende:

• J = M^c;
• A ∪ B is de verzameling van leerlingen die MAVO of HAVO volgen, dus de gebeurtenis dat de gekozen leerling MAVO of HAVO volgt;
• AB = ∅, dus A en B sluiten elkaar uit: de gekozen leerling kan niet tegelijk MAVO en HAVO volgen;
• A ∪ B ∪ C = S, dus A, B en C vormen een partitie van S, dwz. een opdeling van S in elkaar uitsluitende gebeurtenissen.
• M ∪ J = S; ook M en J vormen een partitie van S.
• MC is de verzameling van meisjes die VWO volgen, dus de gebeurtenis dat de gekozen leerling een meisje is dat VWO volgt;
• J ∪ B is de verzameling van leerlingen die van het mannelijk geslacht zijn of HAVO volgen.