Wiskunde voor MBO techniek 1/Merkwaardige producten/(a+b)(a-b)

---

---

Merkwaardige producten, (a+b)(a-b)

Een speciaal geval, naast (a+b)², van $\mathrm {(a\ +\ b)\cdot (a\ +\ c)}$ wordt ook gevormd wanneer b en c aan elkaar gelijk zijn (en je voor alle twee "b" noteert), maar ze een tegengesteld teken hebben. De vergelijking gaat dan over in:

$\mathrm {(a\ +\ b)\cdot (a\ +\ c)\ \Longrightarrow \ (a\ +\ b)\cdot (a\ -\ b)}$

Verg.1

(a+b)²

Als je dit product berekent op de manier zoals is aangegeven dan vind je het volgende:

$\mathrm {(a\ +\ b)\cdot (a\ -\ b)\ =\ a^{2}\ -\ ab\ +\ \ ab\ -\ b^{2}}$

Verg. 2

Wat, als je bedenkt dat de tweede en derde term elkaar opheffen, overgaat in:

$\mathrm {(a\ +\ b)\cdot (a\ -\ b)\ =\ a^{2}\ -\ b^{2}}$

Verg. 3

Getallenvoorbeeld 1

Bereken $43\times 37$.
Dit kun je ook schrijven als:

$\mathrm {(40+3)(40-3)\ =\ ??}$

Verg. 4

Getallen

In dit voorbeeld geldt dus: a = 40 en b = 3. Invullen van deze waarden in vergelijking 3 geeft:

$\mathrm {(a+b)(-b)\ =\ a^{2}\ -\ b^{2}\ \Longrightarrow \ 40^{2}\ -\ 3^{2}\ =\ 1600\ -\ 9\ =\ 1591}$

Verg. 5

Door het splitsen van het getal in tientallen en eenheden worden de uit te voeren vermenigvuldigingen veel eenvoudiger. Ben je een beetje handig met hoofdrekenen dan heb je ook hier niet eens een rekenmachine nodig.

In dit voorbeeld geldt: a = 40 en b = 3. Invullen van deze waarden in vergelijking 6 geeft:

$\mathrm {(a+b)^{2}\ =\ a^{2}\ +2ab\ +\ b^{2}\ \Longrightarrow \ 60^{2}\ +\ 2\times 60\times (-1)\ +\ (-1)^{2}\ =\ 3600\ +\ -120\ +\ 1\ =\ 3481}$

Verg. 6

Wiskundevoorbeeld 1

Uiteraard zijn er ook wiskundige voornbeelden te geven: wat is het kwadraat van $3a\ +\ 5b$?

$(3a\ +\ 5b)(3a\ -\ 5b)\ =\ 9a^{2}\ -\ 25b^{2}$

Verg. 7

Je ziet dat niet alleen de letters meedoen met de formule, maar ook de cijfers. Vooral in het dubbelproduct is de oorspronkelijke 2ab moeilijk te herkennen.

Wiskunde

Wiskundevoorbeeld 2

Ook met gebroken getallen voor de onbekenden blijft de formule werken:

$(2{\tfrac {3}{5}}r\ +\ 4{\tfrac {2}{3}}c)(4{\tfrac {3}{5}}p\ -\ 4{\tfrac {2}{3}}c)\ =??$

De symbolen uit vergelijking 6 krijgen dus nu de betekenissen:

$a\ =\ 2{\tfrac {3}{5}}r$

$b\ =\ 4{\tfrac {2}{3}}c$

Invullen in vergelijking 3, en weer eerst de getallen voor "r" en "c" in zijn geheel als breuk schrijven, geeft nu:

${\big (}2{\tfrac {3}{5}}r\ +\ 4{\tfrac {2}{3}}c{\big )}{\big (}4{\tfrac {3}{5}}r\ -\ 4{\tfrac {2}{3}}c{\big )}\ =\ {\big (}{\tfrac {13}{5}}r{\big )}^{2}\ -\ {\big (}{\tfrac {14}{3}}c{\big )}^{2}\ ={\tfrac {169}{25}}r^{2}\ -\ {\tfrac {196}{9}}c^{2}\ =6{\tfrac {19}{25}}r^{2}\ -\ 21{\tfrac {7}{9}}c^{2}$

Verg. 8

Het kwadraat van getallen die op "5" eidigen

Een handigheid om het kwadraat van getallen die op een "5" eindigen te berekenen maakt gebruik van dit merkwaardige product. De handigheid bestaat uit de volgende regels:

te kwadrateren getal:		35
1	Verwijder de "5" van het getal	3
2	vermenigvuldig het getal dat je gekregen hebt met het getal dat er direct op volgt	3 x 4 = 12
3	zet "25" achter het getal dat je net gekregen hebt. Je hebt nu het gezochte kwadraat	1225

Als je de "5" van het getal afhaalt,werk je dus eigenlijk alleen met de tientallen. De drie in regel 1 is dus eigenlijk 30. De "4" als getal direct op "3" volgend is dus eigenlijk 40. De vermenigvuldiging waarmee je werkt is dus:

$30\times 40\ \Longrightarrow \ (35-5)(35+5)\ =\ 35^{2}\ -\ 5^{2}$

Maar je hebt tientallen met elkaar vermenigvuldigd. Het antwoord in stap 2 is dus eigenlijk 1200. De formule geeft aan dat je van het gezochte kwadraat 25 moet aftrekken. 1200 is dus 25 minder dan het kwadraat dat je moest uitrekenen. Door de "25" weer achter de honderdtallen te zetten in stap 3 geef je zowel aan dat het echt om honderdtallen gaat en bovendien tel je de 25 die je nog miste voor het echte kwadraat er bij.

(?5)²

---

---