Wiskunde voor MBO techniek 1/Grafieken y=ax

In het voorbeeld in de inleiding is een voorbeeld uit de natuurkunde gebruikt: het verband tussen de afgelegde weg en de tijd die daarvoor nodig is. In de wiskunde wordt met algemene formules gewerkt, die niet bij een bepaalde concrete situatie hoeven te horen. Het is gebruikelijk om de letters "x" (in plaats van de tijd) en "y" (in plaats van de afgelegde weg) te gebruiken. De "x" wordt daarbij op de horizontale as getekend, de "y" op de verticale as.

Recht evenredig

**Tabel 1**
x	y	y/x
-2	-6	3
-1	-3	3
0	0	3
1	3	3
2	6	3
3	9	3
4	12	3

De eerste relatie tussen twee grootheden waar je naar gaat kijken is die waarin de verhouding tussen de twee grootheden een vaste waarde heeft. In tabel 1 (links) zie je een voorbeeld waarin deze verhouding gelijk is aan 3. Steeds geldt dat als x 1 groter wordt, y 3 groter wordt. Wordt x 3 groter dan is y 9 groter. Wordt x twee kleiner, dan is y 6 kleiner. Maar ook steeds is waar dat de waarde van y gedeeld door die van x steeds "3" is. In grafiek 1 (rechts) zie je de uitgerekende punten aangegeven als rode cirkels. Kijkend naar de grafiek zie je:

Er zijn dikkere en dunnere horizontale en verticale lijnen, de rasterlijnen.
De dikke lijnen worden de assen van de grafiek genoemd.
Als 0 (nul) één van de waarden voor de rasterlijnen is, wordt deze rasterlijn vaak, maar niet verplicht, als as van de grafiek gebruikt en dikker getekend.
Buiten de grafiek staan de waarden aangegeven die bij de rasterlijnen horen. Deze tekst wordt as-bijschrift genoemd, ook als ze zoals hier niet direct naast de as staan.
Het aantal as-bijschriften bij de rasterlijnen ligt meestal tussen de drie en de zes. In figuur 1 is het aantal bijschriften voor beide assen 4. Het bereik van de verticale as is groter dan dat van de horizontale as, daarom heeft deze as 5-vouden als bijschrift en de horizontale 2-vouden.
Zet je minder bijschriften bij de assen dan wordt het lastig tellen welke waarde bij een tussenliggende rasterlijn hoort. Zet je er meer, dan zie je door de bomen het bos niet meer.
De rasterlijnen worden altijd zo gekozen dat er ronde waarden bij geschreven kunnen worden, dat wil zeggen: een 1-, 2-, 4- of 5-voud van de gebruikte eenheid. In figuur 1 is de gebruikte eenheid op zowel de horizontale als de verticale as "1".
In de grafiek is ook een lijn getekend die de uitgerekende punten met elkaar verbindt, de grafiek van de vergelijking y = 3x
Het punt in de grafiek waarvoor x = 0 en y = 0 wordt de oorsprong van de grafiek of kortweg oorsprong genoemd.

Evenredig
As-bijschrift
assen
as-bijschrift
oorsprong

Figuur 1.

Formule

In het voorbeeld is gebruik gemaakt van de formule

y\ =\ 3x

. Dat wil zeggen dat de hele getallen die gebruikt zijn om de punten in de grafiek te tekenen niet noodzakelijk zijn. Dat kunnen ook gebroken getallen zijn. Vul je in

x\ =\ 2\scriptstyle {\frac {2}{3}}

dan geeft de formule je:

y\ =\ 3x\Longrightarrow \ y\ =\ 3\times 2\scriptstyle {\frac {2}{3}}

\ =\ 6\scriptstyle {\frac {6}{3}}

\ =\ 8

Formule

en vul je in

x\ =\ 2\scriptstyle {\frac {2}{5}}

dan geeft de formule je:

y\ =\ 3x\Longrightarrow \ y\ =\ 3\times 2\scriptstyle {\frac {2}{5}}

\ =\ 7\scriptstyle {\frac {1}{5}}

Grafiek en oorsprong

Een belangrijke eigenschap van de grafiek van een recht-evenredig verband is het feit dat de lijn van de grafiek door de oorsprong gaat. Met de formule ernaast is dat niet zo vreemd. Als je òf voor "x" òf voor "y" nul invult, kun je de vergelijking alleen kloppend krijgen door voor de andere waarde ook nul in te vullen.

Door de oorsprong

Eigenschappen van de recht-evenredige grafiek

De eigenschappen van de grafiek kun je als volgt samenvatten:

de functie bij deze grafiek is: y = ax
de grafiek van de functie is een rechte lijn
de grafiek gaat door de oorsprong

Samenvatting