Wiskunde/Oppervlakte: verschil tussen versies

Uit Wikibooks
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 155: Regel 155:


== Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen? ==
== Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen? ==
Een ellips wordt ook wel een ovaal genoemd. De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt erg op de formule om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. Het verschil is dat we bij een ellips twee stralen hebben in plaats van één. Hieronder staat een ellips afgebeeld met beide stralen.
Een ellips wordt ook wel een ovaal genoemd. De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt erg op de formule om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. Het verschil is dat we bij een ellips twee stralen hebben in plaats van één. Hieronder staat een ellips afgebeeld met beide stralen weergegeven.




Regel 162: Regel 162:


Straal a = het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips
Straal a = het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips

Straal b = het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips
Straal b = het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips



Versie van 27 aug 2005 16:59

In dit hoofdstuk komt het berekenen van de oppervlakte van verschillende figuren aan bod.


Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt weet je:

  • Hoe je een oppervlakte kunt opschrijven (cm², dm², m², km², hectare)
  • Hoe de verhoudingen zijn tussen de verschillende oppervlakte-eenheden
  • Hoe je de oppervlakte van een vierhoek moet berekenen
  • Hoe je de oppervlakte van een driehoek uit kan rekenen
  • Hoe je de oppervlakte van een cirkel uit kan rekenen
  • Hoe je de oppervlakte van een ellips uit kan rekenen


Hoe kun je de oppervlakte van een rechthoek uitrekenen?

Om de oppervlakte van een rechthoek uit te rekenen heb je twee gegevens nodig, namelijk de lengte en de breedte van de rechthoek. Voorbeeld:

Bestand:Vierkant1.JPG

De bovenstaande rechthoek is 4 cm breed en 10 cm lang. De opppervlakte is het aantal vierkante centimeters die in de rechthoek passen. Door om de centimeter lijnen te trekken verdelen we de lengte in 10 stukken van 1 cm en de breedte in 4 stukken van 1 cm. We tellen nu 10 × 4 = 40 vierkantjes van 1 cm lang en 1 cm breed.

Om de oppervlakte te berekenen moet je dus de volgende formule gebruiken:

lengte x breedte = oppervlakte

in dit geval is dat:

10 cm x 4 cm = 40 cm²


Zoals je misschien al hebt gezien staat er als eenheid cm², dus cm met een kleine 2 boven achter cm. Dit betekent dat het een oppervlakte-eenheid is; cm² wordt uitgesproken als 'vierkante centimeter' en betekent eigenlijk niets anders dan cm × cm.

Als je de maten in meters hebt, bijvoorbeeld een rechthoek van 6 meter bij 3 meter, wordt de oppervlakte automatisch in 'vierkante meters'. Dus:


6 m x 3 m = 18 m²


De lengte en breedte kunnen het best in dezelfde lengte-eenheid zijn. Als je een rechthoek van 50 cm bij 4 meter hebt, kun je de oppervlakte op 2 manieren berekenen, namelijk:


0,5 m x 4 m = 2 m²

of

50 cm x 400 cm = 20.000 cm²


Zoals je al ziet is de oppervlakte van een rechthoek van 50 cm bij 4 meter gelijk aan 2 m², maar ook aan 20.000 cm². Blijkbaar is 2 m² dus hetzelfde als 20.000 cm².


Hoe om te rekenen tussen de verschillende oppervlakte-eenheden?

Zoals je al had gelezen is 2 m² gelijk aan 20.000 cm², maar hoeveel cm² is nou 25 dm²? Daarvoor gaan we eerst naar het volgende schema kijken:

Dit schema zul je vast wel herkennen. In dit schema kun je zien hoeveel stappen je nodig hebt om van de ene naar de andere lengte-eenheid te gaan. Zo zie je dat je van milimeters naar meters 3 stappen nodig hebt, 3 meter is dus (x 10 x 10 x 10) 3.000 milimeter.

Voor het omrekenen tussen oppervlakte eenheden hebben we een zelfde soort schema, namelijk:

Bestand:Oppervlakte.JPG

Zoals je kunt zien wordt er nu niet vermenigvuldigd met een factor 10 maar met een factor 100. Hier kun je ook aflezen dat 2 m² inderdaad 20.000 cm² is, je moet namelijk twee keer vermenigvuldigen met 100 om van vierkante meters naar vierkante centimeters te gaan. Nu kun je ook berekenen dat 25 dm² gelijk is aan (25 x 100) 2.500 cm².


Een tweede methode die je kunt gebruiken is door te bedenken dat 1 dm gelijk is aan 10 cm, dan is dus:

1 dm² = 1 dm x 1 dm = 10 cm x 10 cm = 100 cm²

en

25 dm² = 25 dm x 1 dm = 250 cm x 10 cm = 2500 cm²


Er wordt niet vaak gesproken over een vierkante hectometer (of hm²), hiervoor in de plaats wordt vaak het woord 'hectare' gebruikt. Een hectare is (100 m x 100 m) 10.000 m².

Hoe kun je de oppervlakte van een driehoek uitrekenen?

Een driehoek kun je zien als een halve rechthoek, zoals te zien is in de volgende afbeeldingen.


Bestand:Driehoek.PNG


Zoals je kunt zien zijn het rode en het blauwe gedeelte (de twee driehoeken) even groot. De formule die je nodig hebt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen is dus:


(lengte x breedte) : 2 = oppervlakte


Eenvoudig gezegt bereken je dus de oppervlakte van de rechthoek en neem je daar de helft van. Bijvoorbeeld:



De lengte is 7 cm en de breedte is 5 cm, de oppervlakte van de driehoek is dus:


(7 cm x 5 cm) : 2 = 17,5 cm²


Let op: Je neemt hierbij dus de lengte en de breedte van de denkbeeldige rechthoek, je moet dus niet de schuine randen van de driehoek opmeten!


Hoe kun je de oppervlakte van een cirkel uitrekenen?

Voor het uitrekenen van de oppervlakte een cirkel krijg je te maken met een aantal termen, deze termen zijn:


  • De diameter van een cirkel
  • De straal van een cirkel
  • Het getal Pi (π)


Wat is diameter?

De diamter is de grootste afstand die je kan meten in een cirkel, zoals hieronder aan staat gegeven:


Bestand:Diameter.PNG


Wat is de straal?

De straal (in de Wiskunde ook wel 'r' genoemd) is de helft van de diameter. Als de diameter 10 cm is, dan is de straal dus (10 cm : 2) 5 cm.


Wat is het getal π?

Het getal π (spreek uit "pi") is een getal aangegeven door de 16e letter van het Griekse alfabet. Het getal π gaat (voor zover bekend) oneindig lang achter de komma door. De meeste rekenmachines geven π echter aan tot zo'n 10 á 20 getallen achter de komma, maar voor het het gemak kunnen we stellen:

π = 3.14159265...

Wat is de formule?

De formule die gebruikt wordt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen is:


Oppervlakte cirkel = Pi x straal x straal

Of in het kort:

Oppervlakte cirkel = π x r²


Laten we deze formule uitproberen met de volgende cirkel:


Bestand:Cirkel.PNG


Deze cirkel heeft een diameter van 10 cm. Voor het toepassen van de formule hebben wij echter niet de diameter, maar de straal nodig. Zoals hiervoor al gezegd is, is de straal de helft van de diamter, in dit geval is de straal dus 5 cm. Nu kunnen we de oppervlakte uitrekenen:


Oppervlakte cirkel = Pi x 5 cm x 5 cm = 78,54 cm²

of korter

Oppervlakte cirkel = π x 5² cm = 78,54 cm²


Het lijkt in het begin misschien ingewikkeld, maar na een paar keer oefenen wordt het steeds eenvoudiger.


Hoe kun je de oppervlakte van een ellips uitrekenen?

Een ellips wordt ook wel een ovaal genoemd. De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen lijkt erg op de formule om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. Het verschil is dat we bij een ellips twee stralen hebben in plaats van één. Hieronder staat een ellips afgebeeld met beide stralen weergegeven.


Bestand:Ellips.PNG


Straal a = het langste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips

Straal b = het kortste stuk vanaf het middelpunt naar de buitenkant van de ellips


De formule om de oppervlakte van een ellips uit te rekenen is:


oppervlakte ellips = π x straal a x straal b


Als 'straal a' 20 cm is en 'straal b' 5 cm is, dan is de oppervlakte:

oppervlakte ellips = π x 20 cm x 5 cm = 314,2 cm²
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.