Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Huidige versie van 11 dec 2018 om 00:49

Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.

Definitie 20.1[bewerken]

Zij $V$ een vectorruimte over het lichaam $K$ . Een bilineaire vorm op $V$ is een afbeelding $B:V\times V\to K$ die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda \in K$ geldt:

B(\lambda x+y,z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)

en

B(z,\lambda x+y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)

Een bilineaire vorm die aan de paren $(x,y)$ en $(y,x)$ dezelfde waarde toevoegt, heet symmetrisch.

Definitie 20.2[bewerken]

Een bilineaire vorm $B$ op $V$ heet symmetrisch als voor alle $x,y\in V$ geldt:

B(x,y)=B(y,x)

Matrixvoorstelling[bewerken]

Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ een basis is van $V$ , kunnen we de vectoren $x$ en $y$ in deze basis uitdrukken:

x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i}

en

y=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}v_{i}

Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding $B$ van $x$ en $y$ vinden we dan:

B(x,y)=B\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}\eta _{j}v_{j}\right)=\sum _{ij}\xi _{i}\eta _{j}B(v_{i},v_{j})=\sum _{ij}\xi _{i}\beta _{ij}\eta _{j}=\xi ^{T}\beta \eta

Daarin is $\beta$ de $n\times n$ -matrix met elementen $\beta _{ij}=B(v_{i},v_{j})$ die t.o.v. de gekozen basis hoort bij $B$ .

Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.

Stelling 20.1[bewerken]

Bij iedere lineaire vorm $B$ op een lineaire ruimte $V$ van dimensie $n$ bestaat na keuze van een basis een $n\times n$ -matrix $\beta$ , zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:

B(x,y)=\xi ^{T}\beta \eta ,

met $\xi$ en $\eta$ de coördinaten van resp. $x$ en $y$ t.o.v. de gekozen basis.

Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met $\kappa$ , dan is:

\kappa x=\xi

en

\kappa y=\eta

en

B(x,y)=(\kappa x)^{T}\beta \kappa y

Stelling 20.2[bewerken]

De matrix $\beta$ die bij een symmetrische bilineaire vorm $B$ op $V$ hoort, is symmetrisch.

Bewijs[bewerken]

Zij $(b_{1},\ldots ,b_{n})$ de betrokken basis; dan geldt:

\beta _{ij}=B(b_{i},b_{j})=B(b_{j},b_{i})=\beta _{ji}

Diagonaalvorm[bewerken]

Als we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.

Stelling 20.3[bewerken]

Zij $V$ een $n$ -dimensionale vectorruimte over het lichaam $K$ met karakteristiek ongelijk aan 2, en $B$ een symmetrische bilineaire vorm op $V$ . Dan is er een basis $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ van $V$ zodat voor alle $i\neq j$ geldt:

B(b_{i},b_{j})=\beta _{ij}=0

Ten opzichte van deze basis is de matrix $\beta$ van $B$ dus diagonaal en wordt $B$ bepaald door:

B(x,y)=\beta _{11}\xi _{1}\eta _{1}+\ldots +\beta _{nn}\xi _{n}\eta _{n}

,

waarin $\xi$ en $\eta$ weer de coördinaten zijn van respectievelijk $x$ en $y$ ten opzichte van deze basis.

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 {{Lineaire algebra}}
-Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
+Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
 ==Definitie 20.1==
-Zij ''V'' een vectorruimte over het lichaam ''K''. Een '''bilineaire vorm''' op ''V'' is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math> die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor <math>x,y,z \in V</math> en <math>\lambda \in K</math> geldt:
+Zij <math>V</math> een vectorruimte over het lichaam <math>K</math>. Een '''bilineaire vorm''' op <math>V</math> is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math> die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor <math>x,y,z \in V</math> en <math>\lambda \in K</math> geldt:
 :<math>B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math>
 en
@@ Regel 10: / Regel 10: @@
-Een bilineaire vorm die aan de paren (''x'',''y'') en (''y'',''x'') dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch.
+Een bilineaire vorm die aan de paren <math>(x,y)</math> en <math>(y,x)</math> dezelfde waarde toevoegt, heet symmetrisch.
 ==Definitie 20.2==
-Een bilineaire vorm ''B'' op ''V'' heet '''symmetrisch''' als voor alle ''x'', ''y'' &isin; ''V'' geldt:
+Een bilineaire vorm <math>B</math> op <math>V</math> heet '''symmetrisch''' als voor alle <math>x,y\in V</math> geldt:
-:<math>B(x,y)=B(y,x).</math>
+:<math>B(x,y)=B(y,x)</math>
 ===Matrixvoorstelling===
-Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken:
+Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van <math>V</math>, kunnen we de vectoren <math>x</math> en <math>y</math> in deze basis uitdrukken:
 :<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i v_i </math> en <math>y=\sum_{i=1}^n \eta_i v_i </math>
-Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding ''B'' van ''x'' en ''y'' vinden we dan:
+Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding <math>B</math> van <math>x</math> en <math>y</math> vinden we dan:
-:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta .</math>
+:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta</math>
-Daarin is <math>\beta</math> de ''n×n''-matrix met elementen <math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)</math> die t.o.v. de gekozen basis hoort bij ''B''.
+Daarin is <math>\beta</math> de <math>n\times n</math>-matrix met elementen <math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)</math> die t.o.v. de gekozen basis hoort bij <math>B</math>.
 Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
 ==Stelling 20.1==
-Bij iedere lineaire vorm ''B'' op een lineaire ruimte ''V'' van dimensie ''n'' bestaat na keuze van een basis een ''n×n''-matrix <math>\beta</math>, zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
+Bij iedere lineaire vorm <math>B</math> op een lineaire ruimte <math>V</math> van dimensie <math>n</math> bestaat na keuze van een basis een <math>n\times n</math>-matrix <math>\beta</math>, zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
 :<math>B(x,y)=\xi^T\beta\eta,</math>
-met <math>\xi</math> en <math>\eta</math> de coördinaten van resp. ''x'' en ''y'' t.o.v. de gekozen basis.
+met <math>\xi</math> en <math>\eta</math> de coördinaten van resp. <math>x</math> en <math>y</math> t.o.v. de gekozen basis.
-Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met <math>\kappa</math>, dan zijn:
+Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met <math>\kappa</math>, dan is:
-:<math>\kappa x=\xi</math> en <math>\kappa y=\eta</math>.
+:<math>\kappa x=\xi</math> en <math>\kappa y=\eta</math>
 en
-:<math>B(x,y)=(\kappa x)^T\beta\kappa y.</math>
+:<math>B(x,y)=(\kappa x)^T\beta\kappa y</math>
 ==Stelling 20.2==
-De matrix &beta; die bij een symmetrische bilineaire vorm ''B'' op ''V'' hoort, is symmetrisch.
+De matrix <math>\beta</math> die bij een symmetrische bilineaire vorm <math>B</math> op <math>V</math> hoort, is symmetrisch.
 ===Bewijs===
@@ Regel 53: / Regel 53: @@
 ==Stelling 20.3==
-Zij <math>V</math> een ''n''-dimensionale vectorruimte over het lichaam <math>K</math> met karakteristiek ongelijk aan 2, en <math>B</math> een symmetrische bilineaire vorm op <math>V</math>. Dan is er een basis <math>\{b_1,\ldots,b_n\}</math> van <math>V</math> zodat <math>\textstyle \forall i,j,  i\neq j: B( b_i,b_j)=\beta_{ij}=0</math>.
+Zij <math>V</math> een <math>n</math>-dimensionale vectorruimte over het lichaam <math>K</math> met karakteristiek ongelijk aan 2, en <math>B</math> een symmetrische bilineaire vorm op <math>V</math>. Dan is er een basis <math>\{b_1,\ldots,b_n\}</math> van <math>V</math> zodat voor alle <math>i\neq j</math> geldt:
+:<math>B(b_i,b_j)=\beta_{ij}=0</math>
 Ten opzichte van deze basis is de matrix <math>\beta</math> van <math>B</math> dus diagonaal en wordt <math>B</math> bepaald door:
-:<math>B(x,y) = \beta_{11}\xi_1\eta_1+\ldots +\beta_{nn}\xi_n\eta_n </math>,
+:<math>B(x,y) = \beta_{11}\xi_1\eta_1+\ldots +\beta_{nn}\xi_n\eta_n</math>,
 waarin <math>\xi</math> en <math>\eta</math> weer de coördinaten zijn van respectievelijk <math>x</math> en <math>y</math> ten opzichte van deze basis.
@@ Regel 76: / Regel 77: @@
 :<math> V_1=\{x\in V|B(x,v_1) = 0\} </math>
-We zien dat <math>\textstyle V_1</math> een deelruimte van <math>\textstyle V</math> is, dat <math>\textstyle v_1\notin V_1</math> dus is <math>\textstyle \dim V_1 < \dim V = n</math> en tenslotte zien we ook dat <math>\textstyle \left.\langle , \rangle\right|_{V_1\times V_1}:V_1\times V_1\to F</math> een symmetrische bilineaire vorm is.
+We zien dat <math>V_1</math> een deelruimte van <math>V</math> is, dat <math>v_1\notin V_1</math> dus is <math>\dim V_1 < \dim V = n</math> en tenslotte zien we ook dat <math>\left.\langle , \rangle\right|_{V_1\times V_1}:V_1\times V_1\to F</math> een symmetrische bilineaire vorm is.
 Door de inductiehypothese bestaat er een basis <math>\textstyle \{v_2,\ldots,v_k\}</math> voor <math>\textstyle V_1</math> met <math>\textstyle \langle v_i,v_j\rangle=0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Vorm nu de verzameling <math>\textstyle \{v _1,v_2,\ldots,v_k\}</math>, dan geldt nog steeds dat <math>\textstyle \langle v_i,v_j\rangle = 0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat <math>\textstyle \#\{v_1,\ldots,v_k\}\leq n</math>.
@@ Regel 90: / Regel 91: @@
 Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar <math>\textstyle 2\neq0</math> elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.
--->
 ===Voorbeeld===
+Neem <math>K=\R</math> en zij <math>q</math> bepaald door de symmetrische matrix
+:<math>\begin{pmatrix}
-Neem het veld <math>\textstyle F=\mathbb{R}</math>. <math>\textstyle q</math> is bepaald door de symmetrische matrix
+&-1&2\\
-:<math> \begin{pmatrix} 3&-1&2\\
 -1&0&1\\
-&1&2 \end{pmatrix} </math>
+&1&2
+\end{pmatrix}</math>
-Als we dit in formules zetten krijgen we <math>\textstyle q(x,y,z)=3x^2-2xy+4xz+2yz+2z^2</math>. Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.
+Als we dit in formules zetten krijgen we <math>q(x,y,z)=3x^2-2xy+4xz+2yz+2z^2</math>. Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.
 :<math>\begin{align} q(x,y,z)&=3x^2-2xy+4xz+2yz+2z^2\\
@@ Regel 119: / Regel 121: @@
 Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.
+-->
-{{Sub}}