Lineaire algebra/Bilineaire vorm

Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.

Definitie 20.1

Zij V een vectorruimte over het lichaam K. Een bilineaire vorm op V is een afbeelding $B:V\times V\to K$ die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda \in K$ geldt:

$B(\lambda x+y,z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)$

en

$B(z,\lambda x+y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)$

Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch.

Definitie 20.2

Een bilineaire vorm B op V heet symmetrisch als voor alle x, y ∈ V geldt:

$B(x,y)=B(y,x).$

Matrixvoorstelling

Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ een basis is van V, kunnen we de vectoren x en y in deze basis uitdrukken:

$x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i}$ en $y=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}v_{i}$

Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding B van x en y vinden we dan:

$B(x,y)=B\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}\eta _{j}v_{j}\right)=\sum _{ij}\xi _{i}\eta _{j}B(v_{i},v_{j})=\sum _{ij}\xi _{i}\beta _{ij}\eta _{j}=\xi ^{T}\beta \eta .$

Daarin is $\beta$ de n×n-matrix met elementen $\beta _{ij}=B(v_{i},v_{j})$ die t.o.v. de gekozen basis hoort bij B.

Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.

Stelling 20.1

Bij iedere lineaire vorm B op een lineaire ruimte V van dimensie n bestaat na keuze van een basis een n×n-matrix $\beta$, zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:

$B(x,y)=\xi ^{T}\beta \eta ,$

met $\xi$ en $\eta$ de coördinaten van resp. x en y t.o.v. de gekozen basis.

Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met $\kappa$, dan zijn:

$\kappa x=\xi$ en $\kappa y=\eta$.

en

$B(x,y)=(\kappa x)^{T}\beta \kappa y.$

Stelling 20.2

De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm B op V hoort, is symmetrisch.

Bewijs

Zij $(b_{1},\ldots ,b_{n})$ de betrokken basis; dan geldt:

$\beta _{ij}=B(b_{i},b_{j})=B(b_{j},b_{i})=\beta _{ji}$

Diagonaalvorm

Als we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.

Stelling 20.3

Zij $V$ een n-dimensionale vectorruimte over het lichaam $K$ met karakteristiek ongelijk aan 2, en $B$ een symmetrische bilineaire vorm op $V$. Dan is er een basis $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ van $V$ zodat $\textstyle \forall i,j,i\neq j:B(b_{i},b_{j})=\beta _{ij}=0$.

Ten opzichte van deze basis is de matrix $\beta$ van $B$ dus diagonaal en wordt $B$ bepaald door:

$B(x,y)=\beta _{11}\xi _{1}\eta _{1}+\ldots +\beta _{nn}\xi _{n}\eta _{n}$,

waarin $\xi$ en $\eta$ weer de coördinaten zijn van respectievelijk $x$ en $y$ ten opzichte van deze basis.

Voorbeeld

Neem het veld $\textstyle F=\mathbb {R}$. $\textstyle q$ is bepaald door de symmetrische matrix

${\begin{pmatrix}3&-1&2\\-1&0&1\\2&1&2\end{pmatrix}}$

Als we dit in formules zetten krijgen we $\textstyle q(x,y,z)=3x^{2}-2xy+4xz+2yz+2z^{2}$. Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.

${\begin{aligned}q(x,y,z)&=3x^{2}-2xy+4xz+2yz+2z^{2}\\&=3\left(x-{\tfrac {1}{3}}y+{\tfrac {2}{3}}z\right)^{2}-{\tfrac {1}{3}}y^{2}-{\tfrac {4}{3}}z^{2}+2yz+2z^{2}\\&=3\left(x-{\tfrac {1}{3}}y+{\tfrac {2}{3}}z\right)^{2}-{\tfrac {1}{3}}(y-3z)^{2}+3z^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{2}\\&=3\left(x-{\tfrac {1}{3}}y+{\tfrac {2}{3}}z\right)^{2}-{\tfrac {1}{3}}(y-3z)^{2}+{\tfrac {11}{3}}z^{2}\\&=3x'^{2}-{\tfrac {1}{3}}y'^{2}+{\tfrac {11}{3}}z'^{2}\end{aligned}}$

Dan hebben we als matrix van basis verandering de matrix

${\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.