Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 47: | Regel 47: | ||
Zij <math>(b_1,\ldots, b_n)</math> de betrokken basis; dan geldt: |
Zij <math>(b_1,\ldots, b_n)</math> de betrokken basis; dan geldt: |
||
:<math>\beta_{ij}= B(b_i,b_j)= B(b_j,b_i)=\beta_{ji}</math> |
:<math>\beta_{ij}= B(b_i,b_j)= B(b_j,b_i)=\beta_{ji}</math> |
||
==Diagonaalvorm== |
|||
Net zoals we met lineaire afbeeldingen gedaan hebben zouden we graag de matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren. Deze keer willen we het niet diagonaliseren via gelijkvormigheid maar wel via congruentie. Zoals je in de volgende stelling ziet: we hebben geluk. Iedere matrix is diagonaliseerbaar. |
|||
{{Wis stelling| Zij <math>\textstyle F,V,+)</math> een vectorruimte met <math>\textstyle \dim_{\mathbb{R}}V=n</math> met een symmetrische bilineaire vorm <math>\textstyle \langle,\rangle</math> en <math>\textstyle 2\neq0 \in F</math>. Dan bestaat een basis <math>\textstyle \{v_1,\ldots,v_n\}</math> van <math>\textstyle V</math> zodat <math>\textstyle \forall i,j:\langle v_i,v_j\rangle=0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Dus m.a.w. dat de matrix diagonaal is. }} |
|||
{{Wis bewijs| We bewijzen dit door inductie op <math>\textstyle n</math>. |
|||
'''Initialisatiestap''': controleer voor <math>\textstyle n=1</math>: Elke <math>\textstyle 1\times1</math> matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zeker. |
|||
'''Inductiestap''': stel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie <math>\textstyle n-1</math>. Bewijs de stelling nu voor een vectorruimte van dimensie <math>\textstyle n</math>. Er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt <math>\textstyle \forall v,w\in V:\langle v,w\rangle = 0</math>, dan klop de stelling, ofwel bestaan er <math>\textstyle v,w\in V</math> waarvoor <math>\textstyle \langle v,w\rangle \neq0</math>. Uit de polaire formule volgt dan dat <math>\textstyle \exists v_1 \in V:p(v_1)\neq 0\Rightarrow\langle v_1,v_1\rangle\neq0</math>. Construeer nu de verzameling |
|||
:<math> V_1=\{x\in V|\langle x,v_1\rangle = 0\} </math> |
|||
We zien dat <math>\textstyle V_1</math> een deelruimte van <math>\textstyle V</math> is, dat <math>\textstyle v_1\notin V_1</math> dus is <math>\textstyle \dim V_1 < \dim V = n</math> en tenslotte zien we ook dat <math>\textstyle \left.\langle , \rangle\right|_{V_1\times V_1}:V_1\times V_1\to F</math> een symmetrische bilineaire vorm is. |
|||
Door de inductiehypothese bestaat er een basis <math>\textstyle \{v_2,\ldots,v_k\}</math> voor <math>\textstyle V_1</math> met <math>\textstyle \langle v_i,v_j\rangle=0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Vorm nu de verzameling <math>\textstyle \{v _1,v_2,\ldots,v_k\}</math>, dan geldt nog steeds dat <math>\textstyle \langle v_i,v_j\rangle = 0</math> als <math>\textstyle i\neq j</math>. Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat <math>\textstyle \#\{v_1,\ldots,v_k\}\leq n</math>. |
|||
Neem een willekeurige <math>\textstyle x\in V</math>. construeer daar uit <math>\textstyle x_1=x - \frac{\langle x,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1\in V</math>. |
|||
:<math>\begin{align} \langle x_1,v_1\rangle &= \left\langle x - \frac{\langle x,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1,v_1\right\rangle\\ |
|||
&= \langle x,v_1\rangle -\frac{\langle x,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}\langle v_1,v_1\rangle\\ |
|||
&= \langle x,v_1\rangle -\langle x,v_1\rangle\\ |
|||
&=0 \end{align}</math> |
|||
Dus is <math>\textstyle x_1\in V_1</math>. Aangezien <math>\textstyle x=x_1+\frac{\langle x,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1=x_1+kv_1</math> kan <math>\textstyle x</math> geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren <math>\textstyle \{v_1,v_2,\ldots,v_k\}</math> en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat <math>\textstyle k=n</math> en dat <math>\textstyle \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}</math> een basis is. }} |
|||
Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar <math>\textstyle 2\neq0</math> elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel. |
|||
===Voorbeeld=== |
|||
Neem het veld <math>\textstyle F=\mathbb{R}</math>. <math>\textstyle q</math> is bepaald door de symmetrische matrix |
|||
:<math> \begin{pmatrix} 3&-1&2\\ |
|||
-1&0&1\\ |
|||
2&1&2 \end{pmatrix} </math> |
|||
Als we dit in formules zetten krijgen we <math>\textstyle q(x,y,z)=3x^2-2xy+4xz+2yz+2z^2</math>. Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen. |
|||
:<math>\begin{align} q(x,y,z)&=3x^2-2xy+4xz+2yz+2z^2\\ |
|||
&=3\left(x-\tfrac{1}{3}y+\tfrac{2}{3}z\right)^2-\tfrac{1}{3}y^2-\tfrac{4}{3}z^2+2yz+2z^2\\ |
|||
&=3\left(x-\tfrac{1}{3}y+\tfrac{2}{3}z\right)^2-\tfrac{1}{3}(y-3z)^2+3z^2+\tfrac{2}{3}z^2\\ |
|||
&=3\left(x-\tfrac{1}{3}y+\tfrac{2}{3}z\right)^2-\tfrac{1}{3}(y-3z)^2+\tfrac{11}{3}z^2\\ |
|||
&=3x'^2-\tfrac{1}{3}y'^2+\tfrac{11}{3}z'^2 \end{align}</math> |
|||
Dan hebben we als matrix van basis verandering de matrix |
|||
:<math> \begin{pmatrix} x'\\ |
|||
y'\\ |
|||
z' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\ |
|||
0&1&-3\\ |
|||
0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ |
|||
y\\ |
|||
z \end{pmatrix} </math> |
|||
Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering. |
|||
{{Sub}} |
{{Sub}} |
Versie van 22 apr 2015 06:06
Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
Definitie 20.1
Zij V een vectorruimte over het lichaam K. Een bilineaire vorm op V is een afbeelding die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor en geldt:
en
Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch.
Definitie 20.2
Een bilineaire vorm B op V heet symmetrisch als voor alle x en y ∈ V geldt:
Matrixvoorstelling
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als een basis is van V, kunnen we de vectoren x en y in deze basis uitdrukken:
- en
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding B van x en y vinden we dan:
Daarin is de n×n-matrix met elementen die t.o.v. de gekozen basis hoort bij B.
Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
Stelling 20.1
Bij iedere lineaire vorm B op een lineaire ruimte V van dimensie n bestaat na keuze van een basis een n×n-matrix , zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
met en de coördinaten van resp. x en y t.o.v. de gekozen basis.
Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met , dan zijn:
- en .
en
Stelling 20.2
De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm B op V hoort, is symmetrisch.
Bewijs
Zij de betrokken basis; dan geldt:
Diagonaalvorm
Net zoals we met lineaire afbeeldingen gedaan hebben zouden we graag de matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren. Deze keer willen we het niet diagonaliseren via gelijkvormigheid maar wel via congruentie. Zoals je in de volgende stelling ziet: we hebben geluk. Iedere matrix is diagonaliseerbaar.
Stelling:
Zij een vectorruimte met met een symmetrische bilineaire vorm en . Dan bestaat een basis van zodat als . Dus m.a.w. dat de matrix diagonaal is.
Bewijs:
We bewijzen dit door inductie op .
Initialisatiestap: controleer voor : Elke matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zeker.
Inductiestap: stel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie . Bewijs de stelling nu voor een vectorruimte van dimensie . Er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt , dan klop de stelling, ofwel bestaan er waarvoor . Uit de polaire formule volgt dan dat . Construeer nu de verzameling
We zien dat een deelruimte van is, dat dus is en tenslotte zien we ook dat een symmetrische bilineaire vorm is.
Door de inductiehypothese bestaat er een basis voor met als . Vorm nu de verzameling , dan geldt nog steeds dat als . Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat .
Neem een willekeurige . construeer daar uit .
Dus is . Aangezien kan geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat en dat een basis is.
Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.
Voorbeeld
Neem het veld . is bepaald door de symmetrische matrix
Als we dit in formules zetten krijgen we . Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.
Dan hebben we als matrix van basis verandering de matrix
Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.