|
|
Regel 30: |
Regel 30: |
|
Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math> waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en ''Q'' een kwadratische vorm op ''V''. De met ''Q'' geassocieerde bilineaire vorm ''B'' is eenduidig bepaald. |
|
Zij <math>V</math> een lineaire ruimte over een lichaam <math>K</math> waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en ''Q'' een kwadratische vorm op ''V''. De met ''Q'' geassocieerde bilineaire vorm ''B'' is eenduidig bepaald. |
|
|
|
|
|
|
== Stelling 22.2 == |
|
⚫ |
Een kwadratische vorm <math>Q</math> is een homogene afbeelding van de tweede graad , want: |
|
⚫ |
:<math>Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v) .</math> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Laat <math>b=(b_1,\ldots, b_n)</math> een geordende basis van de vectorruimte <math>V</math> zijn. |
|
|
|
|
|
|
:<math>B(v,v')=B(\sum v_ib_i,\sum v'_jjb_j)=\sum v_i v'_jB(b_i,b_j)=\sum v_i v'_j\beta_{ij}</math> |
|
|
:<math>Q(v)=B(v,v)=\sum v_i v_j\beta_{ij}</math> |
|
|
|
|
|
|
Omdat ''B'' symmetrisch is, is ook de matrix <math>\beta</math> symmetrisch. |
⚫ |
<math>Q</math> is een [[Homogeniteit (wiskunde)|homogene afbeelding ]] van de tweede graad: |
|
|
|
Omgekeerde hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm. |
⚫ |
:<math> \forall v\in V,\lambda\in K:Q(\lambda v)=\lambda^2 Q(v) ;</math> |
|
|
|
|
|
Als van de vectorruimte een [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math>W</math> is gegeven, dan wordt een kwadratische vorm gegeven door een [[symmetrische functie]] <math>S:W\times W \to K</math> die de symmetrische bilineaire vorm bepaalt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dus weten we, als het lichaam niet van karakteristiek 2 is, dat |
|
|
|
|
|
:<math> \frac{q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2)}{2}=( v_1,v_2 )</math> |
|
|
|
|
|
Deze formule heet de polaire formule. |
|
|
|
|
|
Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrisch is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm. |
|
|
|
|
|
|
===Basisverandering=== |
|
===Basisverandering=== |
Bij een symmetrische bilineare vorm B op de vectorruimte V kan een afbeelding
gedefinieerd worden. Daarvoor geldt:
Dit lijkt veek op de uitwerking van een kwadraat, en Q heet dan ook een kwadratische vorm.
Definitie 22.1
Zij een lineaire ruimte over een lichaam . Een kwadratische vorm op V is een afbeelding van naar waarvoor een symmetrische bilineaire vorm op bestaat, zodanig dat:
Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm B die bij Q bestaat:
Als de karakteristiek van verschilt van 2 dan is deze bilineaire vorm uniek.
Definitie 22.2
Zij een lineaire ruimte over een lichaam waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en Q een kwadratische vorm op V. De bilineaire vorm
heet de met Q geassocieerde bilineaire vorm.
Stelling 22.1
Zij een lineaire ruimte over een lichaam waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en Q een kwadratische vorm op V. De met Q geassocieerde bilineaire vorm B is eenduidig bepaald.
Stelling 22.2
Een kwadratische vorm is een homogene afbeelding van de tweede graad, want:
Laat een geordende basis van de vectorruimte zijn.
Omdat B symmetrisch is, is ook de matrix symmetrisch.
Omgekeerde hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.
Basisverandering
We zullen onderzoeken wat er gebeurt bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis Dan weten we dat er een inverteerbare matrix bestaat zodat . We kunnen dus een vector op twee manieren ontbinden:
Aangezien de coördinaten uniek zijn weten we dat . Als gevolg zien we dat
We kunnen dus besluiten dat bij verandering van een basis met matrix de matrix van de symetrische bilineaire vorm omgevormd wordt tot . Opgelet, de matrix en zijn niet gelijkvormig.
Matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren
Net zoals we met lineaire afbeeldingen gedaan hebben zouden we graag de matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren. Deze keer willen we het niet diagonaliseren via gelijkvormigheid maar wel via congruentie. Zoals je in de volgende stelling ziet: we hebben geluk. Iedere matrix is diagonaliseerbaar.
Stelling:
Zij een vectorruimte met met een symmetrische bilineaire vorm en . Dan bestaat een basis van zodat als . Dus m.a.w. dat de matrix diagonaal is.
Bewijs:
We bewijzen dit door inductie op .
Initialisatiestap: controleer voor : Elke matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zeker.
Inductiestap: stel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie . Bewijs de stelling nu voor een vectorruimte van dimensie . Er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt , dan klop de stelling, ofwel bestaan er waarvoor . Uit de polaire formule volgt dan dat . Construeer nu de verzameling
We zien dat een deelruimte van is, dat dus is en tenslotte zien we ook dat een symmetrische bilineaire vorm is.
Door de inductiehypothese bestaat er een basis voor met als . Vorm nu de verzameling , dan geldt nog steeds dat als . Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat .
Neem een willekeurige . construeer daar uit .
Dus is . Aangezien kan geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat en dat een basis is.
Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.
Voorbeeld
Neem het veld . is bepaald door de symmetrische matrix
Als we dit in formules zetten krijgen we . Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.
Dan hebben we als matrix van basis verandering de matrix
Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.
Stelling van Sylvester
Stel dat we met het veld werken, in de vorige sectie hebben we bewezen dat iedere kwadratische vorm als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden, . Als we nu voor alle de wortel van nemen, dan krijgen we dat met .
We zouden nu natuurlijk hetzelfde willen doen voor het veld dat het meest gebruikt is: het reële veld. In hebben we ook dat . Neem nu
Aangezien we maar termen opnemen en niet alle termen kunnen we veronderstellen dat is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste coëfficiënten positief zijn en de laatste negatief:
Dan bestaat er een basis zodat met
Hieruit volgt de stelling van Sylvester:
Stelling:
Het aantal termen en de signatuur van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.
Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan en het is definiet als daarenboven . Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.
Tekst die niet geïnterpreteerd wordt.