Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies
Regel 4: | Regel 4: | ||
==Definitie 20.1== |
==Definitie 20.1== |
||
Zij ''V'' een vectorruimte over het lichaam ''K''. Een '''bilineaire vorm''' op ''V'' is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math> |
Zij ''V'' een vectorruimte over het lichaam ''K''. Een '''bilineaire vorm''' op ''V'' is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math> die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor <math>x,y,z \in V</math> en <math>\lambda \in K</math> geldt: |
||
:<math>B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math> |
:<math>B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math> |
||
en |
en |
||
Regel 10: | Regel 10: | ||
Een bilineaire vorm die aan de paren (''x'',''y'') en (''y'',''x'') dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch. |
Een bilineaire vorm die aan de paren (''x'',''y'') en (''y'',''x'') dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch. |
||
==Definitie 20.2== |
==Definitie 20.2== |
Versie van 19 apr 2015 22:07
Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
Definitie 20.1
Zij V een vectorruimte over het lichaam K. Een bilineaire vorm op V is een afbeelding die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor en geldt:
en
Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch.
Definitie 20.2
Een bilineaire vorm B op V heet symmetrisch als voor alle x en y ∈ V geldt:
Matrixvoorstelling
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als een basis is van V, kunnen we de vectoren x en y in deze basis uitdrukken:
- en
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding B van x en y vinden we dan:
Daarin is de n×n-matrix met elementen die t.o.v. de gekozen basis hoort bij B.
Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
Stelling 20.1
Bij iedere lineaire vorm B op een lineaire ruimte V van dimensie n bestaat na keuze van een basis een n×n-matrix , zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
met en de coördinaten van resp. x en y t.o.v. de gekozen basis.
Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met , dan zijn:
- en .
en
Stelling 20.2
De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm B op V hoort, is symmetrisch.
Bewijs
Zij de betrokken basis; dan geldt: