Lineaire algebra/Bilineaire vorm

Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.

Definitie 20.1

Zij V een vectorruimte over het lichaam K. Een bilineaire vorm op V is een afbeelding $B:V\times V\to K$, die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor x, y en z ∈ V, en λ∈K geldt

$B(\lambda x+y,z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)$

en

$B(z,\lambda x+y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)$

Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt heet symmetrisch.

Definitie 20.2

Een bilineaire vorm B op V heet symmetrisch als voor alle x en y ∈ V geldt:

$B(x,y)=B(y,x).$

Matrixvoorstelling

Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ een basis is van V, kunnen we de vectoren x en y in deze basis uitdrukken:

$x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i}$ en $y=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}v_{i}$

Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding B van x en y vinden we dan:

$B(x,y)=B\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}\eta _{j}v_{j}\right)=\sum _{ij}\xi _{i}\eta _{j}B(v_{i},v_{j})=\sum _{ij}\xi _{i}\beta _{ij}\eta _{j}=\xi ^{T}\beta \eta .$

Daarin is $\beta$ de n×n-matrix met elementen $\beta _{ij}=B(v_{i},v_{j})$ die t.o.v. de gekozen basis hoort bij B.

Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.

Stelling 20.1

Bij iedere lineaire vorm B op een lineaire ruimte V van dimensie n bestaat na keuze van een basis een n×n-matrix $\beta$, zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:

$B(x,y)=\xi ^{T}\beta \eta ,$

met $\xi$ en $\eta$ de coördinaten van resp. x en y t.o.v. de gekozen basis.

Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met $\kappa$, dan zijn:

$\kappa x=\xi$ en $\kappa y=\eta$.

en

$B(x,y)=(\kappa x)^{T}\beta \kappa y.$

Stelling 20.2

De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm B op V hoort, is symmetrisch.

Bewijs

Als $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ de betrokken basis is, geldt:

$\beta _{ij}=B(v_{i},v_{j})=B(v_{j},v_{i})=\beta _{ji}$

Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is

$q:V\to F:v\mapsto (v,v)$

de bijhorende kwadratische vorm. Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:

Fout bij het parsen (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \forall v_1,v_1\in V:\\ q(v_1+v_2)&=(v_1+v_2,v_1+v_2)\\ &=(v_1,v_1) +(v_1,v_2 )+( v_2,v_1 )+(v_2,v_2 )\\ &=q(v_1)+2( v_1,v_2) q(v2) \end{align} }

Dus weten we, als het lichaam niet van karakteristiek 2 is, dat

${\frac {q(v_{1}+v_{2})-q(v_{1})-q(v_{2})}{2}}=(v_{1},v_{2})$

Deze formule heet de polaire formule.

Aangezien we met een symmetrische vorm werken, wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrisch is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.