Abstracte algebra/Groepentheorie: verschil tussen versies
Regel 32: | Regel 32: | ||
**<math>(\mathbb{C},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. |
**<math>(\mathbb{C},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. |
||
**<math>(\mathbb{C}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. |
**<math>(\mathbb{C}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan. |
||
** |
** Extraatje: de [[w:quaternion|quaternionen]] van Hamilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier: |
||
**:<math>\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}</math> |
**:<math>\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}</math> |
||
**:Met de bewerkingen: <math>i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, ik=-j\text{ en }kj=-i</math> |
**:Met de bewerkingen: <math>i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, ik=-j\text{ en }kj=-i</math> |
Versie van 15 mei 2011 10:20
Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. In deze cursus wordt verwacht dat je al enigszins vertrouwd bent met groepentheorie. We geven dus enkel een korte herhaling.
Definitie
Definitie:
Een groep is een verzameling met een bewerking die aan de volgende eigenschappen voldoet:
- is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
- , de bewerking is associatief.
- , er bestaat een neutraal element.
- , ieder element heeft een invers.
We noteren het invers ook als
We noteren een groep over de verzameling met de bewerking als .
Definitie:
Als de bewerking commutatief, of abels is, d.w.z.
noemen we de groep een commutatieve, of abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.
Voorbeelden en tegenvoorbeelden
Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:
- Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
- is geen groep want het element 3 heeft geen invers in . ()
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- is geen groep: het element 2 heet geen invers in . ()
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- Extraatje: de quaternionen van Hamilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:
- Met de bewerkingen:
- Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: en
- . Waarbij
- Of in het algemeen: voor alle is een groep.
- Voor elke zijn de volgende twee structuren groepen:
- met als neutraal element de nulmatrix.
- met als neutraal element de eenheidsmatrix .
- Dieëdergroepen. voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.
- Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: is een groep met .
Orde van een groep en een element
De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneindig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element is de kleinste macht waarvoor geldt dat . Indien er voor geen enkele macht geldt dat , dan zegt men dat de orde van oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element. We noteren de orde van een element of een groep als .
Deelgroepen en nevenklassen
Definitie:
Als een groep is en zodat een groep is. Dan noemen we een deelgroep van .
Definitie:
Met een groep en een deelgroep van . Dan is voor
een linkernevenklasse van en
een rechternevenklasse van .
De stelling van Lagrange
Stelling:
Gegeven een groep en een deelgroep, dan
- vormen de (linker/rechter)nevenklassen van een partitie van
- is er een bijectie tussen elke nevenklasse van
- als eindig is, dan is
Als gevolg hebben we dan ook dat de orde van ieder element in een deler van moet zijn.