Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

Uit Wikibooks
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Nijdam (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Nijdam (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 10: Regel 10:




Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt noemen we symmetrisch.

==Definitie 20.2==
Een bilineaire vorm ''B'' op ''V'' heet '''symmetrisch''' als voor alle x en y &isin; V geldt: :<math>\!\,B(x,y)=B(y,x).</math>


===Matrixvoorstelling===
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken:
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken:
:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i v_i </math> en <math>y=\sum_{i=1}^n \eta_i v_i </math>
:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i v_i </math> en <math>y=\sum_{i=1}^n \eta_i v_i </math>
Regel 20: Regel 27:




==Stelling 20.2==
De matrix &beta; die bij een symmetrische bilineaire vorm ''B'' op ''V'' hoort is symmetrisch.


===Bewijs===
Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> de betrokken basis is, geldt:
:<math>\!\beta_{ij}= B(v_i,v_j)= B(v_j,v_i)=\beta_{ji}</math>




We noemen een bilineaire vorm symmetrisch a.s.a.

:<math> \forall v_1,v_2\in V:\langle v_1,v_2\rangle = \langle v_2,v_1\rangle </math>


Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is

Versie van 4 mrt 2010 17:55

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekentdat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.

Definitie 20.1

Zij V een vectorruimte over het lichaam K. Een bilineaire vorm op V is een afbeelding , die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor x, y en z ∈ V, en λ∈K geldt

en


Een bilineaire vorm die aan de paren (x,y) en (y,x) dezelfde waarde toevoegt noemen we symmetrisch.

Definitie 20.2

Een bilineaire vorm B op V heet symmetrisch als voor alle x en y ∈ V geldt: :Fout bij het parsen (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \!\,B(x,y)=B(y,x).}


Matrixvoorstelling

Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als een basis is van V, kunnen we de vectoren x en y in deze basis uitdrukken:

en

Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding B van x en y vinden we dan:

Daarin is de n×n-matrix met elementen die t.o.v. de gekozen basis hoort bij B.


Stelling 20.2

De matrix β die bij een symmetrische bilineaire vorm B op V hoort is symmetrisch.

Bewijs

Als de betrokken basis is, geldt:


Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is

de bijhorende kwadratische vorm (quadratic form). Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:

Dus weten we, als we in een veld zijn waar , dan is

Deze formule noemen we de polaire formule.


Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.

Basisverandering

We zullen onderzoeken wat er gebeurd bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis Dan weten we dat er een inverteerbare matrix bestaat zodat . We kunnen dus een vector op twee manieren ontbinden:

Aangezien de coördinaten uniek zijn weten we dat . Als gevolg zien we dat

We kunnen dus besluiten dat bij verandering van een basis met matrix de matrix van de symetrische bilineaire vorm omgevormd wordt tot . Opgelet, de matrix en zijn niet gelijkvormig.

Definitie:
We noemen twee matrices congruent als voor een zekere inverteerbare matrix .


Matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren

Net zoals we met lineaire afbeeldingen gedaan hebben zouden we graag de matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren. Deze keer willen we het niet diagonaliseren via gelijkvormigheid maar wel via congruentie. Zoals je in de volgende stelling ziet: we hebben geluk. Iedere matrix is diagonaliseerbaar.

Stelling:
Zij een vectorruimte met met een symmetrische bilineaire vorm en . Dan bestaat een basis van zodat als . Dus m.a.w. dat de matrix diagonaal is.


Bewijs:
We bewijzen dit door inductie op .

Initialisatiestap: controleer voor : Elke matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zeker.

Inductiestap: stel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie . Bewijs de stelling nu voor een vectorruimte van dimensie . Er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt , dan klop de stelling, ofwel bestaan er waarvoor . Uit de polaire formule volgt dan dat . Construeer nu de verzameling

We zien dat een deelruimte van is, dat dus is en tenslotte zien we ook dat een symmetrische bilineaire vorm is.

Door de inductiehypothese bestaat er een basis voor met als . Vorm nu de verzameling , dan geldt nog steeds dat als . Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat .

Neem een willekeurige . construeer daar uit .

Dus is . Aangezien kan geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat en dat een basis is.


Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.

Voorbeeld

Neem het veld . is bepaald door de symmetrische matrix

Als we dit in formules zetten krijgen we . Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.

Dan hebben we als matrix van basis verandering de matrix

Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.

Stelling van Sylvester

Stel dat we met het veld werken, in de vorige sectie hebben we bewezen dat iedere kwadratische vorm als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden, . Als we nu voor alle de wortel van nemen, dan krijgen we dat met .

We zouden nu natuurlijk hetzelfde willen doen voor het veld dat het meest gebruikt is: het reële veld. In hebben we ook dat . Neem nu

Aangezien we maar termen opnemen en niet alle termen kunnen we veronderstellen dat is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste coëfficiënten positief zijn en de laatste negatief:

Dan bestaat er een basis zodat met

Hieruit volgt de stelling van Sylvester:

Stelling:
Het aantal termen en de signatuur van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.


Bewijs:
We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.

Stel dat en ook met . We kunnen veronderstellen dat . Neem nu

In die verzameling hebben we voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu , dan is (t.o.v. de eerste basis) en (t.o.v. de tweede basis). Dus is en is dus is wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat .


Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan en het is definiet als daarenboven . Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd. Tekst die niet geïnterpreteerd wordt.

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.