Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 4: | Regel 4: | ||
==Definitie 20.1== |
==Definitie 20.1== |
||
Zij ''V'' een vectorruimte over het |
Zij ''V'' een vectorruimte over het lichaam ''K''. Een '''bilineaire vorm''' op ''V'' is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math>, die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor ''x, y'' en ''z ∈ V, en ''λ∈K'' geldt |
||
:<math>\!\,B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math> |
:<math>\!\,B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math> |
||
en |
en |
||
:<math>\!\,B(z,\lambda x + y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)</math> |
:<math>\!\,B(z,\lambda x + y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)</math> |
||
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken: |
|||
⚫ | |||
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding ''B'' van ''x'' en ''y'' vinden we dan: |
|||
:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta .</math> |
|||
Daarin is <math>\!\beta</math> de ''n×n''-matrix met elementen <math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)</math> die t.o.v. de gekozen basis hoort bij ''B''. |
|||
Regel 32: | Regel 44: | ||
Deze formule noemen we de polaire formule. |
Deze formule noemen we de polaire formule. |
||
<!-- |
|||
==Matrix voorstellingen== |
|||
Gegeven een symetrische bilineaire vorm op een vectroruimte <math>\textstyle (F,V,+)</math> kunnen we steeds een matrix van die vorm opstellen. Kies eerst een basis <math>\textstyle \beta=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> van <math>\textstyle V</math>. Dan kan je iedere <math>\textstyle v\in V</math> schrijven t.o.v. de basisvectoren: |
|||
⚫ | |||
Dan is |
|||
:<math>\begin{align} \langle v,w\rangle&=\left\langle \sum_{i=1}^n x_i v_i,\sum_{i=1}^n y_i v_i \right\rangle\\ |
:<math>\begin{align} \langle v,w\rangle&=\left\langle \sum_{i=1}^n x_i v_i,\sum_{i=1}^n y_i v_i \right\rangle\\ |
||
Regel 46: | Regel 52: | ||
\langle v_n,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_n,v_n \rangle\\ |
\langle v_n,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_n,v_n \rangle\\ |
||
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} \end{align}</math> |
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} \end{align}</math> |
||
--> |
|||
Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm. |
Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm. |
Versie van 4 mrt 2010 16:23
Naast eenvormen zijn ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekentdat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
Definitie 20.1
Zij V een vectorruimte over het lichaam K. Een bilineaire vorm op V is een afbeelding , die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor x, y en z ∈ V, en λ∈K geldt
en
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als een basis is van V, kunnen we de vectoren x en y in deze basis uitdrukken:
- en
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding B van x en y vinden we dan:
Daarin is de n×n-matrix met elementen die t.o.v. de gekozen basis hoort bij B.
We noemen een bilineaire vorm symmetrisch a.s.a.
Stel dat we een symmetrische bilineare vorm hebben, dan is
de bijhorende kwadratische vorm (quadratic form). Over deze kwadratische vorm hebben we wat meer informatie:
Dus weten we, als we in een veld zijn waar , dan is
Deze formule noemen we de polaire formule.
Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
Basisverandering
We zullen onderzoeken wat er gebeurd bij basisverandering. Stel dat je een nieuwe basis Dan weten we dat er een inverteerbare matrix bestaat zodat . We kunnen dus een vector op twee manieren ontbinden:
Aangezien de coördinaten uniek zijn weten we dat . Als gevolg zien we dat
We kunnen dus besluiten dat bij verandering van een basis met matrix de matrix van de symetrische bilineaire vorm omgevormd wordt tot . Opgelet, de matrix en zijn niet gelijkvormig.
Definitie:
We noemen twee matrices congruent als voor een zekere inverteerbare matrix .
Matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren
Net zoals we met lineaire afbeeldingen gedaan hebben zouden we graag de matrix van een bilineaire vorm diagonaliseren. Deze keer willen we het niet diagonaliseren via gelijkvormigheid maar wel via congruentie. Zoals je in de volgende stelling ziet: we hebben geluk. Iedere matrix is diagonaliseerbaar.
Stelling:
Zij een vectorruimte met met een symmetrische bilineaire vorm en . Dan bestaat een basis van zodat als . Dus m.a.w. dat de matrix diagonaal is.
Bewijs:
We bewijzen dit door inductie op .
Initialisatiestap: controleer voor : Elke matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zeker.
Inductiestap: stel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie . Bewijs de stelling nu voor een vectorruimte van dimensie . Er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt , dan klop de stelling, ofwel bestaan er waarvoor . Uit de polaire formule volgt dan dat . Construeer nu de verzameling
We zien dat een deelruimte van is, dat dus is en tenslotte zien we ook dat een symmetrische bilineaire vorm is.
Door de inductiehypothese bestaat er een basis voor met als . Vorm nu de verzameling , dan geldt nog steeds dat als . Als we nu kunnen bewijzen dat die verzameling een basis is, dan is de stelling volledig bewezen. Het is voldoende om te bewijzen dat die verzameling voortbrengend is omdat we al weten dat .
Neem een willekeurige . construeer daar uit .
Dus is . Aangezien kan geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat en dat een basis is.
Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.
Voorbeeld
Neem het veld . is bepaald door de symmetrische matrix
Als we dit in formules zetten krijgen we . Volgens bovenstaand resultaat kunnen we dit dus tot een lineaire combinatie van volkomen kwadraten omvormen.
Dan hebben we als matrix van basis verandering de matrix
Deze matrix is inverteerbaar en dus een matrix van basis verandering.
Stelling van Sylvester
Stel dat we met het veld werken, in de vorige sectie hebben we bewezen dat iedere kwadratische vorm als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten kan geschreven worden, . Als we nu voor alle de wortel van nemen, dan krijgen we dat met .
We zouden nu natuurlijk hetzelfde willen doen voor het veld dat het meest gebruikt is: het reële veld. In hebben we ook dat . Neem nu
Aangezien we maar termen opnemen en niet alle termen kunnen we veronderstellen dat is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste coëfficiënten positief zijn en de laatste negatief:
Dan bestaat er een basis zodat met
Hieruit volgt de stelling van Sylvester:
Stelling:
Het aantal termen en de signatuur van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.
Bewijs:
We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.
Stel dat en ook met . We kunnen veronderstellen dat . Neem nu
In die verzameling hebben we voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu , dan is (t.o.v. de eerste basis) en (t.o.v. de tweede basis). Dus is en is dus is wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat .
Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan en het is definiet als daarenboven . Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.
Tekst die niet geïnterpreteerd wordt.