Abstracte algebra/Groepentheorie: verschil tussen versies

Uit Wikibooks
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Sanderd17 (overleg | bijdragen)
aanvulling
Sanderd17 (overleg | bijdragen)
Regel 61: Regel 61:
==Orde van een groep en een element==
==Orde van een groep en een element==


De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneingig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element <math>\textstyle g\in G</math> is de kleinste macht <math>\textstyle k\in\mathbb{N}_0</math> waarvoor geldt dat <math>\textstyle g^k=e</math>. Indien er voor geen enkele macht <math>\textstyle k</math> geldt dat <math>\textstyle g^k=e</math>, dan zegt men dat de orde van <math>\textstyle g</math> oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element.
De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneingig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element <math>\textstyle g\in G</math> is de kleinste macht <math>\textstyle k\in\mathbb{N}_0</math> waarvoor geldt dat <math>\textstyle g^k=e</math>. Indien er voor geen enkele macht <math>\textstyle k</math> geldt dat <math>\textstyle g^k=e</math>, dan zegt men dat de orde van <math>\textstyle g</math> oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element. We noteren de orde van een element of een groep <math>x</math> als <math>|x|</math>.


==Deelgroepen en nevenklassen==
==Deelgroepen en nevenklassen==

Versie van 28 feb 2010 18:18

Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. In deze cursus wordt verwacht dat je al enigszins vertrouwd bent met groepentheorie. We geven dus enkel een korte herhaling.

Definitie

Definitie:
Een groep is een verzameling met een bewerking die aan de volgende eigenschappen voldoet:

  1. is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
  2. , de bewerking is associatief.
  3. , er bestaat een neutraal element.
  4. , ieder element heeft een invers.
    We noteren het invers ook als

We noteren een groep over de verzameling met de bewerking als .


Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is :.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:

  • Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
    • is geen groep want het element 3 heeft geen invers in . ()
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • is geen groep: het element 2 heet geen invers in . ()
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
    • Extra'tje: de quaternionen van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:
      Met de bewerkingen:
      Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: en
  • . Waarbij
    Of in het algemeen: voor alle is een groep.


  • Voor elke zijn de volgende twee structuren groepen:
    met als neutraal element de nulmatrix.
    met als neutraal element de eenheidsmatrix .
  • Dieëdergroepen. voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.
  • Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: is een groep met .


Orde van een groep en een element

De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneingig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element is de kleinste macht waarvoor geldt dat . Indien er voor geen enkele macht geldt dat , dan zegt men dat de orde van oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element. We noteren de orde van een element of een groep als .

Deelgroepen en nevenklassen

Definitie:
Als een groep is en zodat een groep is. Dan noemen we een deelgroep van .


Definitie:
Met een groep en een deelgroep van . Dan is voor

een linkernevenklasse van en

een rechternevenklasse van .

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.