Abstracte algebra/Groepentheorie

Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. In deze cursus wordt verwacht dat je al enigszins vertrouwd bent met groepentheorie. We geven dus enkel een korte herhaling.

Definitie

Definitie:
Een groep is een verzameling $G$ met een bewerking $\star$ die aan de volgende eigenschappen voldoet:

1. $\star :G\times G\to G:(g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}\star g_{2}$ is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
2. $\forall g_{1},g_{2},g_{3}\in G:(g_{1}\star g_{2})\star g_{3}=g_{1}\star (g_{2}\star g_{3})=g_{1}\star g_{2}\star g_{3}$, de bewerking is associatief.
3. $\exists e\in G:\forall g\in G:g\star e=g=e\star g$, er bestaat een neutraal element.
4. $\forall g\in G:\exists h\in G:g\star h=e=h\star g$, ieder element heeft een invers.
   We noteren het invers ook als $h=g^{-1}$

We noteren een groep over de verzameling $G$ met de bewerking $\star$ als $(G,\star )$.

Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is :$\forall g,h\in G:g\star h=h\star g$.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:

• Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
  • $(\mathbb {N} ,+)$ is geen groep want het element 3 heeft geen invers in $\mathbb {N}$. ($3+x=0\Rightarrow x=-3\notin \mathbb {N}$)
  • $(\mathbb {Z} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {Z} _{0},\cdot )$ is geen groep: het element 2 heet geen invers in $\mathbb {Z}$. ($2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin \mathbb {Z}$)
  • $(\mathbb {Q} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {Q} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {R} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {R} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {C} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {C} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • Extra'tje: de quaternionen van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:

    $\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

    Met de bewerkingen: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,ik=-j{\text{ en }}kj=-i$

    Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: $(\mathbb {H} ,+)$ en $(\mathbb {H} _{0},\cdot )$

• $(\mathbb {Z} _{2},+)=(\{0,1\},+)$. Waarbij $1+1=0$

  Of in het algemeen: voor alle $n\in \mathbb {N}$ is $(\mathbb {Z} _{n},+)$ een groep.

• Voor elke $n\in \mathbb {N}$ zijn de volgende twee structuren groepen:

  $\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} \right\},+\right)$ met als neutraal element de nulmatrix.

  $\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} _{0}\right\},\cdot \right)$ met als neutraal element de eenheidsmatrix $\mathbb {I} _{n}$.

• Dieëdergroepen. $D_{n}=(\{1,a1a^{2},\ldots ,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\ldots ,a^{n-1}b\},\circ )$ voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.

• Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: $(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3},\star )$ is een groep met $\star :(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\times (\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\to \mathbb {Z} _{2}\times D_{3}:\left((z_{1},d_{1}),(z_{2},d_{2})\right)\mapsto (z_{1}+z_{2},d_{1}\circ d_{2})$.

Orde van een groep en een element

De orde van een eindige groep is gewoon het aantal elementen in een groep. Men zegt dat de orde oneingig is als de groep geen eindig aantal elementen heeft. De orde van een element $\textstyle g\in G$ is de kleinste macht $\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}$ waarvoor geldt dat $\textstyle g^{k}=e$. Indien er voor geen enkele macht $\textstyle k$ geldt dat $\textstyle g^{k}=e$, dan zegt men dat de orde van $\textstyle g$ oneindig is. Men kan de orde van een element ook zien als de orde van de groep die voortgebracht wordt door dat element.

Deelgroepen en nevenklassen

Definitie:
Als $\textstyle (G,\star )$ een groep is en $\textstyle H\subseteq G$ zodat $\textstyle (H,\star )$ een groep is. Dan noemen we $\textstyle (H,\star )$ een deelgroep van $\textstyle (G,\star )$.

Definitie:
Met $\textstyle (G,\star )$ een groep en $\textstyle (H,\star )$ een deelgroep van $\textstyle G$. Dan is voor $\textstyle g\in G$

$g\star H=\{g\star h|h\in H\}$

een linkernevenklasse van $\textstyle H$ en

$H\star g=\{h\star g|h\in H\}$

een rechternevenklasse van $\textstyle H$.