Abstracte algebra/Groepentheorie

Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. Hieronder staat de definitie van een groep.

Definitie

Definitie:
Groep

Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is :$\forall g,h\in G:g\star h=h\star g$.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:

• Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
  • $(\mathbb {N} ,+)$ is geen groep want het element 3 heeft geen invers in $\mathbb {N}$. ($3+x=0\Rightarrow x=-3\notin \mathbb {N}$)
  • $(\mathbb {Z} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {Z} _{0},\cdot )$ is geen groep: het element 2 heet geen invers in $\mathbb {Z}$. ($2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin \mathbb {Z}$)
  • $(\mathbb {Q} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {Q} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {R} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {R} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {C} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • $(\mathbb {C} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
  • Extra'tje: de quaternionen van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:

    $\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

    Met de bewerkingen: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,ik=-j{\text{ en }}kj=-i$

    Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: $(\mathbb {H} ,+)$ en $(\mathbb {H} _{0},\cdot )$

• $(\mathbb {Z} _{2},+)=(\{0,1\},+)$. Waarbij $1+1=0$

  Of in het algemeen: voor alle $n\in \mathbb {N}$ is $(\mathbb {Z} _{n},+)$ een groep.

• Voor elke $n\in \mathbb {N}$ zijn de volgende twee structuren groepen:

  $\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} \right\},+\right)$ met als neutraal element de nulmatrix.

  $\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} _{0}\right\},\cdot \right)$ met als neutraal element de eenheidsmatrix $\mathbb {I} _{n}$.

• Dieëdergroepen. $D_{n}=(\{1,a1a^{2},\ldots ,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\ldots ,a^{n-1}b\},\circ )$ voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.

• Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: $(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3},\star )$ is een groep met $\star :(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\times (\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\to \mathbb {Z} _{2}\times D_{3}:\left((z_{1},d_{1}),(z_{2},d_{2})\right)\mapsto (z_{1}+z_{2},d_{1}\circ d_{2})$.