Abstracte algebra/Groepentheorie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 25 feb 2010 13:03

Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een groep behandelen. Hieronder staat de definitie van een groep.

Definitie

Definitie:
Groep

Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een abelse groep, genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is : $\forall g,h\in G:g\star h=h\star g$ .

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:

Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
- $(\mathbb {N} ,+)$ is geen groep want het element 3 heeft geen invers in $\mathbb {N}$ . ( $3+x=0\Rightarrow x=-3\notin \mathbb {N}$ )
- $(\mathbb {Z} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- $(\mathbb {Z} _{0},\cdot )$ is geen groep: het element 2 heet geen invers in $\mathbb {Z}$ . ( $2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin \mathbb {Z}$ )
- $(\mathbb {Q} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- $(\mathbb {Q} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- $(\mathbb {R} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- $(\mathbb {R} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- $(\mathbb {C} ,+)$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- $(\mathbb {C} _{0},\cdot )$ is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
- Extra'tje: de quaternionen van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:
  $\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$
  
  Met de bewerkingen: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,ik=-j{\text{ en }}kj=-i$
  
  Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: $(\mathbb {H} ,+)$ en $(\mathbb {H} _{0},\cdot )$
$(\mathbb {Z} _{2},+)=(\{0,1\},+)$ . Waarbij $1+1=0$
Of in het algemeen: voor alle $n\in \mathbb {N}$ is $(\mathbb {Z} _{n},+)$ een groep.

Voor elke $n\in \mathbb {N}$ zijn de volgende twee structuren groepen:
$\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} \right\},+\right)$ met als neutraal element de nulmatrix.

$\left(\left\{\left.{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}\right|\lambda _{i}\in \mathbb {R} _{0}\right\},\cdot \right)$ met als neutraal element de eenheidsmatrix $\mathbb {I} _{n}$ .

Dieëdergroepen. $D_{n}=(\{1,a1a^{2},\ldots ,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\ldots ,a^{n-1}b\},\circ )$ voor uitleg, kijk naar de engelstalige wikipagina.

Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: $(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3},\star )$ is een groep met $\star :(\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\times (\mathbb {Z} _{2}\times D_{3})\to \mathbb {Z} _{2}\times D_{3}:\left((z_{1},d_{1}),(z_{2},d_{2})\right)\mapsto (z_{1}+z_{2},d_{1}\circ d_{2})$ .

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
+Als eerste onderwerp in dit boek zullen we de structuur van een [[w:groep (wiskunde)|groep]] behandelen. Hieronder staat de definitie van een groep.
+==Definitie==
 {{Wis def|Groep
-| Een groep is een verzameling <math>G</math> met een bewerking <math>*</math> die aan de volgende eigenschappen voldoet:
+| Een groep is een verzameling <math>G</math> met een bewerking <math>\star</math> die aan de volgende eigenschappen voldoet:
-# <math>*:G\times G\to G : (g_1,g_2)\mapsto g_1*g_2</math> is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
+# <math>\star :G\times G\to G : (g_1,g_2)\mapsto g_1\star g_2</math> is een afbeelding. De bewerking is dus inwendig en overal bepaald.
-# <math>\forall g_1,g_2,g_3\in G:(g_1*g_2)*g_3=g_1*(g_2*g_3)=g_1*g_2*g_3</math>, de bewerking is associatief.
+# <math>\forall g_1,g_2,g_3\in G:(g_1\star g_2)\star g_3=g_1\star (g_2\star g_3)=g_1\star g_2\star g_3</math>, de bewerking is associatief.
-# <math>\exists e\in G: \forall g\in G: g*e=g=e*g</math>, er bestaat een neutraal element.
+# <math>\exists e\in G: \forall g\in G: g\star e=g=e\star g</math>, er bestaat een neutraal element.
-# <math>\forall g\in G: \exists h\in G: g*h=e=h*g</math>, ieder element heeft een invers.<br />We noteren het invers ook als <math>h=g^{-1}</math>
+# <math>\forall g\in G: \exists h\in G: g\star h=e=h\star g</math>, ieder element heeft een invers.<br />We noteren het invers ook als <math>h=g^{-1}</math>
+We noteren een groep over de verzameling <math>G</math> met de bewerking <math>\star </math> als <math>(G,\star )</math>.
 }}
+Naast een groep heb je ook een commutatieve groep, meestal spreken we van een [[w:abelse groep|abelse groep]], genoemd naar de Noorse wiskundige [[w:Niels Henrik Abel|Niels Henrik Abel]]. Een abelse groep is een groep waar de bewerking bovendien abels is :<math>\forall g,h\in G:g\star h=h\star g</math>.
+===Voorbeelden en tegenvoorbeelden===
+Bij bovenstaande definitie kunnen we enkele voorbeelden geven:
+* Eenvoudige voorbeelden over veelgebruikte getallen verzamelingen:
+** <math>(\mathbb{N},+)</math> is '''geen''' groep want het element 3 heeft geen invers in <math>\mathbb{N}</math>. (<math>3+x=0\Rightarrow x=-3\notin\mathbb{N}</math>)
+**<math>(\mathbb{Z},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+**<math>(\mathbb{Z}_0,\cdot)</math>  is '''geen''' groep: het element 2 heet geen invers in <math>\mathbb{Z}</math>. (<math>2\cdot x=1\Rightarrow x=1/2\notin\mathbb{Z}</math>)
+**<math>(\mathbb{Q},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+**<math>(\mathbb{Q}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+**<math>(\mathbb{R},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+**<math>(\mathbb{R}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+**<math>(\mathbb{C},+)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+**<math>(\mathbb{C}_0,\cdot)</math> is een groep. Alle eigenschappen zijn voldaan.
+** Extra'tje: de [[w:quaternion|quaternionen]] van Hammilton. Dit is een uitbreiding op de complexe getallen met de extra eenheden j en k volgens de volgende manier:
+**:<math>\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}</math>
+**:Met de bewerkingen: <math>i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, ik=-j\text{ en }kj=-i</math>
+**:Ook daarmee kan je twee dergelijke groepen maken: <math>(\mathbb{H},+)</math> en <math>(\mathbb{H}_0,\cdot)</math>
+* <math>(\mathbb{Z}_2,+)=(\{0,1\},+)</math>. Waarbij <math>1+1=0</math>
+*:Of in het algemeen: voor alle <math>n\in\mathbb{N}</math> is <math>(\mathbb{Z}_n,+)</math> een groep.
+* Voor elke <math>n\in \mathbb{N}</math> zijn de volgende twee structuren groepen:
+*:<math>\left(\left\{\left.
+\begin{bmatrix}
+\lambda_1& 0 & \cdots &0 \\
+&0&\cdots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\\
+&0& & \lambda_n
+\end{bmatrix}
+\right|\lambda_i\in\mathbb{R}\right\},+\right)</math> met als neutraal element de nulmatrix.
+*:<math>\left(\left\{\left.
+\begin{bmatrix}
+\lambda_1& 0 & \cdots &0 \\
+&0&\cdots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\\
+&0& & \lambda_n
+\end{bmatrix}
+\right|\lambda_i\in\mathbb{R}_0\right\},\cdot\right)</math> met als neutraal element de eenheidsmatrix <math>\mathbb{I}_n</math>.
+*[[w:Dihedrale groep|Dieëdergroepen]]. <math>D_n=(\{1,a1a^2,\ldots,a^{n-1},b,ab,a^2b,\ldots,a^{n-1}b\},\circ)</math> voor uitleg, kijk naar de [[w:en:Dihedral group|engelstalige wikipagina]].
+* Het direct product van twee groepen is opnieuw een groep: <math>(\mathbb{Z}_2\times D_3,\star)</math> is een groep met <math>\star :(\mathbb{Z}_2\times D_3)\times(\mathbb{Z}_2\times D_3)\to \mathbb{Z}_2\times D_3:\left((z_1,d_1),(z_2,d_2)\right)\mapsto (z_1+z_2,d_1\circ d_2)</math>.