Transmissielijnen/Complex rekenen

Korte samenvatting

In een netwerk met passieve componenten R, C en L is de overdracht gebaseerd op de volgende relaties tussen de stroom i en de spanning u:

$u=Ri\,$

$i=Cu'\,$

$u=Li'\,$

Voor sinusvormige signalen met hoekfrequentie ω schrijven we:

$u={\hat {u}}\cdot \cos(\omega t+\phi )\,$

en

$i={\hat {i}}\cdot \cos(\omega t+\psi )$

De spanning u wordt gegeven door twee grootheden:

de amplitude ${\hat {u}}\,$

en

de fasehoek φ.

Analoog voor de stroom i.

We kunnen voor u ook schrijven:

$u=Re({\hat {u}}e^{j(\omega t+\phi )})$

We noemen

${\underline {u}}={\hat {u}}e^{j\phi }$ (ook wel genoteerd als $|u|\angle \phi$),

zodat:

$u=Re({\underline {u}}e^{j\omega t})$.

Het enige interessante deel hierin is ${\underline {u}}\,$, deze bepaalt u. We rekenen verder alleen met ${\underline {u}}\,$.

De bovengenoemde relaties zijn equivalent met:

${\underline {u}}=R{\underline {i}}\,$

${\underline {i}}=j\omega C{\underline {u}}\,$,

${\underline {u}}=j\omega L{\underline {i}}\,$

Al deze vergelijkingen hebben dezelfde vorm als de wet van Ohm, met ${\underline {u}}\,$ de spanning, ${\underline {i}}\,$ de stroom en als impedantie

$R\,$ voor een ohmse weerstand R

${\frac {1}{j\omega C}}\,$ voor een capaciteit C

$j\omega L\,$ voor een zelfinductie L

Het rekenen wordt hierdoor een stuk eenvoudiger!!

NB. De vereenvoudigde (polaire) notatie

$z=|z|\angle \phi$

voor een complex getal is erg gemakkelijk bij vermenigvuldigen en delen. Immers , als:

$z_{1}=a_{1}\angle \phi _{1}$

en

$z_{2}=a_{2}\angle \phi _{2}$,

dan is:

$z_{1}z_{2}=a_{1}a_{2}\angle (\phi _{1}+\phi _{2})$

en

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}\angle (\phi _{1}-\phi _{2})$.