Sjabloon:Rekenen in de techniek/ABC-formule

Sjabloondocumentatie

Doel van het sjabloon

Om deze tekst in meerdere boeken te kunnen gebruiken is ze in een sjabloon geplaatst. Kijk onder de knop "Links naar deze pagina" welke boeken dat zijn.

Parameters

Het feit dat de tekst in meerdere boeken gebruikt kan worden betekent ook dat de verwijzingen aanpasbaar moeten zijn. Er zijn in deze tekst drie verwijzingen aanwezig, die elk door een eigen parameter gevuld worden:

Isoleer

Verwijst naar de pagina waarop (het begin aanwezig is van) het isoleren van een onbekende wordt uitgelegd.

x_plus_a_kwadraat

Verwijst naar de pagina waarop het merkwaardig product (x + a)² besproken wordt.

x_plus_a_maal_x_plus_b

Verwijst naar de pagina waar het merkwaardig product (x + a)(x + b) besproken wordt.

De paginatitels worden zonder de blokhaken voor linken opgegeven. Als op de plek van de linkposities groene tekst verschijnt, is de betreffende parameter niet correct geladen.

Invoegtekst

In onderstaand voorbeeld zijn de parameters geladen met waarden die naar de juiste pagina's in Wiskunde voor MBO techniek 1 verwijzen.

{{Rekenen in de techniek/ABC-formule
| Isoleer = Wiskunde voor MBO techniek 1/Isoleren/Inleiding
| x_plus_a_kwadraat = Wiskunde voor MBO techniek 1/Merkwaardige producten/(a+b)2
| x_plus_a_maal_x_plus_b = Wiskunde voor MBO techniek 1/Merkwaardige producten/(a+b)(a+c)}}

Voorbeeld

Kwadraten in de wetenschap

In veel takken van wetenschap worden verbanden tussen grootheden beschreven waarin een kwadratische functie een rol speelt. Vaak is dan daarna de vraag: oké, leuke functie, maar wanneer is hij nul? Als wetenschap die naar algemene antwoorden op dit soort vragen zoekt is in de wiskunde de vraag gesteld hoe je dat aan moet pakken. Voor de wiskunde is er dan één probleem: je weet niet wat je aan het doen bent. De chemicus kan concentraties beschrijven, de natuurkundige de versnelling van een auto, de bioloog de groeisnelheid van een plant, en allemaal komen ze met een vergelijking waarin "hun" grootheid kwadratisch van een aantal dingen afhangt.
Het eerste wat de wiskundige doet is al die vervelende grootheden van biologen, natuurkundigen en chemici aan de kant schuiven. Er moet iets gezegd worden over een onbekende: die heet in de wiskunde "x". Die onbekende moet gekwadrateerd kunnen worden, en komt misschien ook nog wel tot de eerste macht voor. Zowel het kwadraat als de eerste macht kunnen ook nog met een constante vermenigvuldigd worden. Verder kan er ook nog een constante zijn die niets met "x" te maken heeft. Al met al levert dat de volgende vergelijking op :

${\ce {ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0}}$

Verg. 1

De "x" is de onbekende, "a", "b" en "c" zijn bekende getallen, maar die kunnen wel elke waarde hebben die jij, of wie dan ook, leuk vindt.

Algemene formule

De eerste stap die bij het isoleren van 1 onbekende was het verzamelen van alle termen met "x" aan de ene kant van het gelijkteken, alle termen zonder "x" aan de andere kant. Heel moeilijk is dat hier niet:

${\ce {ax^{2}\ +\ bx\ =\ -c}}$

Verg. 2

isoleren

Hoewel de bioloog, fysicus of chemicus die constante voor x² noodzakelijk kan vinden, is het een vervelende spelbreker. Alleen een x² staat daar veel netter. Dat kun je voor elkaar krijgen door links en rechts door "a" te delen. Bij x² ben je hem nu kwijt, helaas duikt hij nu wel op bij de b en c-term.

${\ce {x^2 \ + \ {\frac {b}{a}}x \ = \ - {\frac {c}{a}}}}$

Verg. 3

"lastige a"

De volgende stap ligt niet echt voor de hand, maar getuigt van de genialiteit van de (waarschijnlijk) Griek, die bedacht dat het stuk links van het gelijkteken wel wat weg heeft van het resultaat van het merkwaardige product ${\ce {(x\ +\ b)^{2}\ =\ x^{2}\ +\ 2bx\ +\ b^{2}}}$. Het geniale zit hem nu in de manier waarop je de gelijkheid "waar" houdt én het merkwaardig product er in werkt.

De formule op zich levert twee problemen op, die stap voor stap aangepakt worden:

• De tweede term in het merkwaardige product heeft een factor "2" erin, en die heb je niet nodig. Maar die term wordt ook het dubbelproduct genoemd. De factor "2" ontstaat door het kwadrateren, maar als je ergens een factor ${\tfrac {1}{2}}$ kunt inbouwen in een van de factoren lukt het ook, die deelt dan netjes weg tegen de 2 uit het kwadrateren. Door in plaats van $\left(x+{\frac {b}{a}}\right)^{2}$ gebruik te maken van $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ =\ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ zijn de eerste twee termen precies wat je nodig hebt. Helaas krijg je de term ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ er gratis bij.
• Gelukkig is dat probleem niet zo gek groot. Je trekt gewoon die vervelende laatste term weer van het kwadraat af:
  
  $\left(x\ +\ {\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ -\ {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ =\ -{\frac {c}{a}}$

  Verg. 4

Geniaal

Opnieuw kun je nu een van de beginselen van het isoleren van onbekenden toepassen: zonder x naar rechts, met x links:

$\left(x\ +\ {\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ =\ {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ -{\frac {c}{a}}$

Verg. 5

Aan de rechterkant twee breuken met verschillende noemers is niet handig. Je maakt ze gelijnamig, zodat je ze van elkaar kunt aftrekken:

$\left(x\ +\ {\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ =\ {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ -{\frac {c}{a}}\ =\ {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ -{\frac {4ac}{4a^{2}}}\ =\ {\frac {b^{2}\ -\ 4ac}{4a^{2}}}$

Verg. 6

De volgende stap is het kwadraat wegwerken. Dit die je door wortel trekken. Je moet dan alleen wel bedenken wat worteltrekken betekent. Worteltrekken wil zeggen: Zoek een getal dat met zichzelf vermenigvuldigt het getal onder het wortelteken oplevert. Alleen .......

$3\ \times \ 3\ =\ 9$, maar ook

$(-3)\ \times \ (-3)\ =\ 9$

Zowel "3" als "-3" zijn een wortel van "9".

${\sqrt {9}}\ =\ 3$ en

${\sqrt {9}}\ =\ -3$.

Je kunt dat korter noteren als: ${\sqrt {9}}\ =\ \pm {\sqrt {3}}$. Het teken $\pm$ betekent hier niet plusminus of ongeveer, maar: er zijn twee waarden, die alleen in het teken van elkaar verschillen. En dat geldt niet alleen van voor ${\sqrt {9}}$. Ga je in vergelijking 6 links en rechts worteltrekken, dan moet je er rekening mee houden dat je twee verschillende antwoorden krijgt. Om aan te geven dat de wortel twee verschillende waardes kan opleveren, wordt links de index _1,2 toegevoegd.

$\left({\sqrt {\left(x\ +\ {\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}\right)_{1,2}\ =\ \pm {\sqrt {\frac {b^{2}\ -\ 4ac}{4a^{2}}}}$

Verg. 7

Worteltrekken

Links is het worteltrekken recht toe recht aan: het kwadraat en de wortel heffen elkaar op, zodat alleen de term tussen de haakjes overblijft. De haakjes zijn dan daarna ook niet meer nodig. Het feit dat er twee waarden gevonden worden hoeft alleen bij de "x" aangegeven te worden, de constanten zijn constanten en leveren dus steeds dezelfde waarde op.
Rechts kan ook ook wel wat opgeschoond worden. De wortel van een breuk is gelijk aan de breuk van de wortels. De plus of min aanduiding moet of in de teller, of in de noemer meegenomen worden. Gebruikelijk is het om het bij de teller, dus boven de deelstreep, te noteren. Onder de deelstreep is een echt kwadraat ontstaan, dat vervolgens ook door de wortel wordt opgeheven:

$x_{1,2}\ +\ {\frac {b}{2a}}\ =\ {\frac {\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{\sqrt {(2a)^{2}}}}\ =\ {\frac {\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{2a}}$

Verg. 8

De laatste stappen bestaan opnieuw uit "zonder x naar rechts, met x links". De breuken die rechts terechtkomen hebben (gelukkig) dezelfde noemer en kunnen dus bij elkaar opgeteld worden:

$x_{1,2}\ =\ -\ {\frac {b}{2a}}\ {\frac {\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{\sqrt {(2a)^{2}}}}\ =\ {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{2a}}$

Verg. 9

De middelste vorm kan tussen de twee buitenste uit, waarna de bekende abc- of wortelformule resulteert:

$x_{1,2}\ =\ {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{2a}}$

Verg. 10

abc-formule
wortelformule

Opmerkingen

De formule lijkt zo klaar voor gebruik. Er zit alleen nog een addertje onder het gras en er is nog andere een betekenis te koppelen aan de uitkomsten dan: bij die waarden is de uitkomst nul.

Opmerkingen

Onder de wortel staat een positief getal

Grafieken van verschillende tweedegraads functies

Voor de blauwe grafiek die de waarden van $y=x^{2}+2x-3$ weergeeft werkt de vergelijking goed. Als je je afvraagt voor welke waarden de vergelijking gelijk is aan nul (y = 0) dan betekent dat: $x^{2}+2x-3=0$. Invullen van vergelijking 10 levert dan:

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4\times 1\times (-3)}}}{2\times 1}}$

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {4+12}}}{2}}$

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}\Longrightarrow x_{1}={\frac {-2-4}{2}}=-3;\ x_{1}={\frac {-2+4}{2}}=1$

Je kunt deze uitkomst ook in de grafiek controleren: voor de waarden -3 en +1 gaat de grafiek door de x-as.

$b^{2}\ -\ 4ac\ >\ 0$

Andere betekenis

De hierboven gevonden wortels voor $x^{2}+2x-3=0$ hebben, naast die van de punten waarop de grafiek door de x-as gaat, voor deze vergelijking nog een andere betekenis. De vraag was: voor welke waarde(n) van x is de vergelijking $x^{2}+2x-3=0$ waar? Los van de vraag kun je ook opmerken dat de vorm van de formule sterk dat denken aan die van de resultaten van de merkwaardige producten (x + a)(x + b) of (x + a)²: een term met "x²", een term met "x" en een constante. De ABC-formule heeft twee verschillende waarden opgeleverd, dus moet je waarschijnlijk zoeken naar een vergelijking van de vorm: $(x+a)(x+b)$.

De vraag was: voor welke waarden van x is de vergelijking kloppend. Dat wil zeggen dat het product gelijk is aan "0". Heel simpel, een product is gelijk aan "0" als minstens één van de factoren "nul" is.

Product = 0

Je weet al voor welke waarden van x de vergelijking waar is, dus die waarden kun je invullen. Daarna is het een kwestie van onbekende isoleren, waar alleen nu de "a" en de "b" de onbekenden zijn:

${\begin{matrix}x-waarde&Uitgangsformule&x\ ingevuld&onbekende\\x=(-3)&(x+a)=0&-3+a=0&a=3\\x=1&(x+b)=0&1+b=0&b=-1\end{matrix}}$

De formule wordt daarmee: $y=(x+3)(x-1)$

De gevonden wortels geven dus ook meteen aan welke getallen in het product gebruikt moeten worden. Je moet alleen het teken in de gaten houden. Als de wortel (-3) is, wil dat zeggen dat voor één voor de factoren geldt: $x+3=0$, want (-3) + 3 = 0.

"x" invullen

De waarde onder het wortelteken is precies 0

Een speciaal geval treedt op bij de rode grafiek. Deze lijn geeft de waarden weer die horen bij vergelijking $y=x^{2}+2x+1$. In de grafiek zie je dat de figuur net aan de x-as raakt. Ga je de ABC-formule invullen dan vind je:

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4\times 1\times 1}}}{2\times 1}}$

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4}}}{2}}$

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {0}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}\Longrightarrow x_{1}={\frac {-2-0}{2}}=-1;\ x_{2}={\frac {-2+0}{2}}=-1$

Wat je hier ziet is dat als de waarde onder het wortel-teken 0 is, je nog wel netjes de formule kunt gebruiken, maar je twee keer hetzelfde getal vindt. In de wiskunde wordt gezegd: De vergelijking $x^{2}+2x+1=0$ heeft twee samenvallende wortels. Je kunt deze uitkomst ook in de grafiek controleren: bij de waarden -1 tikt de grafiek net tegen de x-as.
Wat hierboven over de andere betekenis van de wortels gezegd werd, geldt ook hier: de wortels geven aan welke factoren in de vergelijking voorkomen. Ook hier op het teken letten. De functie wordt:

$y=(x+1)^{2}$

$b^{2}\ -\ 4ac\ =\ 0$

Onder de wortel staat een negatief getal

In de figuur is dit de paarse grafiek. Dit is de grafiek van de functie $y=x^{2}+2x+2$, en b² - 4ac = -4. Hier is een probleem. Een getal met zichzelf vermenigvuldigen levert altijd een positief getal op. Dus als er onder het wortelteken een negatief getal staat kun je geen getal vinden dat de wortel ervan kan zijn. Aan de andere kant is dat eigenlijk het ook geen groot probleem, want als je naar de grafiek kijkt, zie je direct de er geen enkele waarde voor x is, waarvoor geldt dat de formule "0" oplevert.

b² - 4ac < 0

Discriminant

Omdat de waarde van het getal onder het wortelteken zo'n grote invloed heeft op het wel of niet vinden van wortels voor een vergelijking, en het aantal daarvan, wordt deze waarde aangeduid met de term discirminant (< latijn: discrīminare). Het woord is in zijn vorm verwant aan discriminatie, maar wel in de oorspronkelijke, neutrale, betekenis van het woord: onderscheid maken. De discriminant D bepaalt of er twee (D >0) slechts één (D = 0) of geen (D < 0) wortels gevonden worden.

Discriminant

Voorbeelden

In onderstaande voorbeelden is het gebruik van de formule nog een keer uitgewerkt.

Voorbeeld 1

Voor welke waarde van x is de vergelijking $x^{2}\ +\ 5x\ +\ 6\ =\ 0$ waar?
Je kunt nu vergelijking 10 gebruiken met a = 1; b = 5; c = 6:

$x_{1,2}\ =\ {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{2a}}\ \Longrightarrow$

$\Longrightarrow \ x_{1,2}\ =\ {\frac {-5\pm {\sqrt {5^{2}\ -\ 4\times 1\times 6}}}{2\times 1}}\ \Longrightarrow$
$\Longrightarrow \ x_{1,2}\ =\ {\frac {-5\pm {\sqrt {25\ -\ 24}}}{2}}\ \Longrightarrow$
$\Longrightarrow \ x_{1,2}\ =\ {\frac {-5\pm {\sqrt {1}}}{2}}\ =\ {\frac {-5\pm 1}{2}}\ \Longrightarrow$

$\Longrightarrow {\begin{matrix}x_{1}&=&{\tfrac {-5+1}{2}}&=&{\frac {-4}{2}}&=&-2\\x_{2}&=&{\tfrac {-5-1}{2}}&=&{\frac {-6}{2}}&=&-3\end{matrix}}$

Verg. 11

Voorbeeld 2

Voor welke waarde van p is de vergelijking $10p^{2}\ -\ 7p\ -\ 12\ =\ 0$ waar?
Je kunt nu vergelijking 10 gebruiken met a = 10; b = -7; c = -12:

$p_{1,2}\ =\ {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}\ -\ 4ac}}}{2a}}\ \Longrightarrow$

$\Longrightarrow \ p_{1,2}\ =\ {\frac {7\pm {\sqrt {(-7)^{2}\ -\ 4\times 10\times (-12)}}}{2\times 10}}\ \Longrightarrow$
$\Longrightarrow \ p_{1,2}\ =\ {\frac {7\pm {\sqrt {49\ +\ 480}}}{20}}\ \Longrightarrow$
$\Longrightarrow \ p_{1,2}\ =\ {\frac {7\pm {\sqrt {529}}}{20}}\ =\ {\frac {7\pm 23}{20}}\ \Longrightarrow$

$\Longrightarrow {\begin{matrix}p_{1}&=&{\tfrac {7+23}{20}}&=&{\frac {30}{20}}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{\frac {1}{2}}\\p_{2}&=&{\tfrac {7-23}{20}}&=&{\frac {-16}{20}}&=&-{\frac {4}{5}}\end{matrix}}$

Verg. 12