Wiskunde/Volume

Uit Wikibooks
Ga naar: navigatie, zoek
Inhoudsopgave Wiskunde
Hoofdstukken
  1. Algebra
  2. Getallen
  3. Meetkunde
  4. Oppervlakte
  5. Pythagoras
  6. Rekenkunde
  7. Talstelsels
  8. Vergelijkingen en ongelijkheden
  9. Volume

Elke driedimensionale figuur, zoals een doos, een voetbal en een drinkfles, heeft een inhoud (ook wel 'volume' genoemd). In dit hoofdstuk wordt uitgelegd hoe je de volumes van verschillende figuren kunt berekenen. Voordat je aan dit hoofdstuk begint is het handig dat je de theorie achter het hoofdstuk "Oppervlakte" goed snapt.

Aan het eind van dit hoofdstuk weet je:

  • Wat de verhoudingen zijn tussen de verschillende volume-eenheden
  • Hoe je het volume van een kubus, balk, prisma, piramide, kegel, cilinder en een bol kan berekenen


Hoe kun je het volume van een balk en een kubus berekenen?[bewerken]

Een balk is een figuur die bestaat uit zes rechthoekige vlakken. De snijlijnen van de vlakken heten ribben, daarvan zijn er twaalf. Een kubus is een balk waarvan alle ribben even lang zijn; de zes vlakken zijn bij een kubus dus vierkant. De formule die gebruikt wordt om het volume van een balk te berekenen is:

volume balk = lengte x breedte x hoogte

Met deze formule kun je ook het volume van een kubus berekenen. Voor het berekenen van het volume van een kubus kun je ook de "lengte van een ribbe tot de macht 3" (kortweg 'a³') nemen, dit omdat alle ribben van een kubus even lang zijn.

volume kubus = (lengte ribbe)³

Laten we de formule voor de balk toepassen op het volgende voorbeeld:

Simpele Kubus2.PNG

Deze balk is 10 cm lang, 4 cm breed en 3 cm hoog. Het volume is dan:

volume balk = 10 cm x 4 cm x 3 cm = 120 cm³.

Hoe kun je het volume van een prisma berekenen?[bewerken]

Een prisma is een figuur met een ondervlak in de vorm van een veelhoek en een bovenvlak in dezelfde vorm met de ribben evenwijdig aan de overeenkomstige ribben van het ondervlak. De zijvlakken worden gevormd door de vlakken door de overeenkomstige ribben.

volume prisma = ((lengte x breedte)/2) x hoogte

Hoe kun je het volume van een cilinder uitrekenen?[bewerken]

Een cilinder is een rechte, ronde staaf. Hier een voorbeeld van een cilinder.

Volume cilinder.png


Het volume van een cilinder kun je berekenen met de volgende formule:

volume cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte
of uitgebreider
volume cilinder = π x straal² x hoogte

Herinner dat de oppervlakte van de cirkel gegeven wordt door: pi x (straal x straal).

De formule voor het volume van een cilinder kunnen we gebruiken om het volume van een olievat uit te rekenen.

Gegeven een olievat met een diameter van 3,8 dm en een hoogte van 5,6 dm:

volume vat = π x 1,9 x 1,9 x 5,6 = 63,5 dm³ = 63,5 liter

Hoe kun je het volume van een piramide of een kegel berekenen?[bewerken]

Een piramide is een figuur die bestaat uit een grondvlak dat een veelhoek (een driehoek, vierhoek, vijfhoek etc.) is. Vanaf elke zijde van de veelhoek loopt een driehoek vanaf de grond naar een gemeenschappelijk punt.

Een (eindige) kegel lijkt op een piramide, maar het grondvlak is een cirkel in plaats van een veelhoek. Er is maar een, rondlopende, zijde. De top is nog steeds loodrecht boven het middelpunt van het grondvlak gelegen.

De formule voor het berekenen van het volume van zowel een kegel als van een piramide is:

volume piramide = \tfrac 13 oppervlakte\ grondvlak \times hoogte

Voor een kegel is dat dus:

volume kegel = 1/3 x π x straal² x hoogte

gerekend met de straal van het grondvlak.

Oefening[bewerken]

Roihuvuori water tower - Helsinki Finland.jpg

De inhoud van naaststaande watertoren is 12.000 m³. Veronderstel dat het voorwerp kegelvormig is, met de top naar beneden. De watertoren is 52m hoog. Wat is de diameter van de watertoren? 10236 cm is een fout antwoord en robbe is goed

Hoe kun je het volume van een afgeknotte kegel berekenen?[bewerken]

Een afgeknotte kegel is een driedimensionale figuur met een cirkel als grondvlak en een cirkel als bovenvlak, met de middelpunten loodrecht boven elkaar gelegen. Men kan zich de figuur denken als een kegel waarvan de top is afgesneden.

Om het volume van een afgeknotte kegel te berekenen heb je drie gegevens nodig, namelijk de straal R van het grondvlak, de straal r van het bovenvlak en de hoogte h van de afgeknotte kegel. Het volume is gelijk aan het volume van de kegel als die niet was afgeknot (met hoogte h x R / (R - r)), minus het volume van de afgesneden top, en die is ook een kegel (met hoogte h x r /(R - r)).


De formule die je nodig hebt om het volume uit te rekenen is daarom:

volume afgeknotte kegel = 1/3 x π x h x (R / (R - r)) x R² - 1/3 x π x h x (r / (R - r)) x r² = 1/3 x π x h x ( R² + R x r + r² )

dus in woorden: volume volledige kegel ( afgeknotte + top ) min het volume van de top (bovenste kegel als die niet was afgeknot) = afgeknotte kegel

Hoe kun je het volume van een bol berekenen?[bewerken]

Een bol is een driedimensionale figuur waarvan alle punten even ver van een punt, het middelpunt, liggen. Hieronder staat een bol getekend; de rode lijnen zijn diameters.


Simpele bol.png


Om het volume van de bol uit te rekenen heb je slechts één gegeven nodig, namelijk de straal van de bol. De straal is de afstand vanaf het middelpunt van de bol naar de buitenkant van de bol, dus de helft van de diameter. De formule die je nodig hebt om het volume uit te rekenen is:

\mathrm{volume}\ \mathrm{bol}=\frac 43 \times\pi\times \mathrm{straal}^3.

Je kunt ook de diameter gebruiken:

\mathrm{volume}\ \mathrm{bol}=\frac 16\times\pi\times \mathrm{diameter}^3.

Daaraan zie je dat het volume van een bol ongeveer de helft is van dat van de kubus waar de bol in past, waarbij de kubus dus een ribbe heeft met als lengte de diameter van de bol.

Als we een bol hebben met een diameter van 10 cm, is de straal dus 5 cm. Het volume van deze bol is dan:

volume bol = 4/3 x π x 5³ = 523,6 cm³

Hoe kun je het volume van het omwentelingslichaam van een grafiek om de x-as berekenen?[bewerken]

Het lichaam dat ontstaat door wenteling van de lijn y = f(x) op het interval [a,b] om de x-as kan worden onderverdeeld in n cilinders met hoogte \Delta x en straal f(x), zodat de inhoud van de k-de cilinder wordt gegeven door:

I_k = \pi (f(a + \tfrac{1}{2}\Delta x + k \cdot \Delta x))^2 \Delta x\,

De oppervlakte van het gehele lichaam kan worden benaderd door de Riemann-som:

I = \sum_{k=0}^{n-1}I_k = \sum_{k=0}^{n-1}\pi (f(a + \tfrac{1}{2}\Delta x + k \cdot \Delta x))^2 \Delta x

Om de inhoud van het lichaam exact te berekenen nemen we de limiet van \Delta x naar 0:

I = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{k=0}^{n-1}\pi (f(x))^2 \Delta x

Wat de volgende integraal oplevert:

\begin{align}
I & = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2\,\textrm{d}x\\
& = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2\,\textrm{d}x
\end{align}

(Tip): Onthoud altijd de stelling van pythagoras, je zal het vaak nodig hebben: A2+B2= C2

Voorbeeld[bewerken]

V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van de functie f(x) = 4 - x^2. Wat is de inhoud van het lichaam L dat ontstaat door wenteling van V om de x-as?

De grafiek snijdt de x-as in de punten (\pm2,0), de grenzen van de integraal zijn dus -2 en 2.

De inhoud van L wordt dan als volgt berekend:

\begin{align}
I_L	& = \pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,\textrm{d}x \\
	& = \pi\int_{-2}^{2}(16-8x^2+x^4)\,\textrm{d}x \\
	& = \pi[16x-\tfrac{8}{3}x^3+\tfrac{1}{5}x^5]_{-2}^{2} \\
	& = \pi\bigg(\Big(16 \cdot 2 - \tfrac{8}{3} \cdot 2^3 + \tfrac{1}{5} \cdot 2^5\Big)-\Big(16 \cdot -2 - \tfrac{8}{3} \cdot (-2)^3 + \tfrac{1}{5} \cdot (-2)^5\Big)\bigg) \\
	& = \pi\Big(\tfrac{256}{15}-(-\tfrac{256}{15})\Big) \\
	& = \tfrac{512}{15}\pi
\end{align}
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.