Wiskunde/Vergelijkingen en ongelijkheden/Tweedegraads

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek
Inhoudsopgave Wiskunde
Hoofdstukken
  1. Algebra
  2. Getallen
  3. Meetkunde|
  4. Oppervlakte
  5. Pythagoras
  6. Rekenkunde
  7. Talstelsels
  8. Vergelijkingen en ongelijkheden
9. Volume

Inhoud

[bewerken] Standaardvorm

Een tweedegraads of kwadratische vergelijking heeft de volgende standaardvorm:

y = ax^2 + bx + c\quad\quad(a \neq 0)

De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.

[bewerken] Nulpunten Bepalen

De oplossingen voor x van de vergelijking ax2 + bx + c = 0 worden gegeven door de abc- of wortelformule:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Er zijn drie gevallen te onderscheiden:

  1. b2 - 4ac > 0: De vergelijking heeft twee oplossingen.
  2. b2 - 4ac = 0: De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.
  3. b2 - 4ac < 0: De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.

[bewerken] Voorbeeld

Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule y = x2 + 2x − 3?

\begin{align} x_{1,2} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot-3}}{2\cdot1} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ & = \frac{-2 \pm 4}{2} \\ & = -1 \pm 2 \end{align}

De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.

[bewerken] Afleiding van de Wortelfunctie

\begin{align} ax^2 + bx + c & = 0 \\ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac & = 0 \\ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 & = b^2 - 4ac \\ (2ax + b)^2 & = b^2 - 4ac \\ 2ax + b & = \pm\sqrt{b^2 - 4ac} \\ 2ax & = -b \pm\sqrt{b^2 - 4ac} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align}

[bewerken] Tweedegraads Vergelijking Oplossen

Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van ax2 + bx + c = 0 eenvoudig kan worden opgelost. Dit is niet het geval met een vergelijking van de vorm ax2 + bx + c = dx2 + e. We zullen deze vergelijking dan ook eerst moeten omschrijven:

\begin{align} & ax^2 + bx + c = dx^2 + e \\ \equiv\quad\quad & (a-d)x^2 + bx + (c-e) = 0 \end{align}

De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.

[bewerken] Top Bepalen

De x-coördinaat van de top wordt gegeven door x_{top} = -\tfrac{b}{2a}. De y-coördinaat van de top kan worden verkregen door xtop in te vullen in de formule.

[bewerken] Voorbeeld

Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule y = 3x2 + 4x − 2?

\begin{align} x_{top} & = -\tfrac{4}{2 \cdot 3} = -\tfrac{2}{3} \\ y_{top} & = 3 \cdot (-\tfrac{2}{3})^2 + 4 \cdot -\tfrac{2}{3} -2 = -\tfrac{10}{3} \end{align}

De coördinaten van de top van de grafiek zijn (-\tfrac{2}{3},-\tfrac{10}{3}).

[bewerken] Afleiding van deze Formule

y = ax2 + bx + c geeft \tfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2ax + b. Gelijkstellen van de afgeleide aan 0 (om de top te bepalen) geeft:

\begin{align} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = \tfrac{-b}{2a} \end{align}


 

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen