Wiskunde/Integraal

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Inhoud

[bewerken] Gebruik

De integraal wordt gebruikt om twee redenen:

  • De oppervlakte tussen een grafiek en de x-as aanduiden
  • Een oneindige som aanduiden

[bewerken] Riemann-sommen

De Duitse wiskundige Riemann wou op een of andere manier de oppervlakte bepalen tussen de grafiek van een functie f(x) en de x-as op het interval [a,b]. Hij redeneerde als volgt: als ik het interval verdeel in n stukjes met breedte Δx = (b − a) / n en die oppervlakte zou opvullen met rechthoekjes boven die stukjes met hoogte f(xi), waarin xi het midden van zo'n stukje is, dan is de gezamenlijke oppervlakte van die rechthoekjes bij benadering gelijk aan de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van f(x).

Dus hij schreef op: \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x \approx Opp.

[bewerken] Integraal

Dan redeneerde hij verder. Als ik steeds meer rechthoekjes neem en de breedte van die rechthoekjes zéér klein laat worden, dus \Delta x \rightarrow 0, krijg ik precies de oppervlakte, die hij integraal noemde. In plaats van een somteken, schreef hij voor die oneindige som van oneindig kleine rechthoekjes een \int, een langgerekte S, en voor de oneindig kleine Δx schreef hij dx.

Opp = \int_a^b f(x) dx

[bewerken] Eigenlijke integraal

Stel dat er een functie f(x) is gegeven. Je wil de oppervlakte tussen grafiek en x-as bepalen in het interval [ − 7;4]. Dan is dit simpelweg de integraal van de functie over het interval berekenen:

\int_{-7}^{4}f(x)dx

[bewerken] Oneigenlijke integraal

Is in wezen hetzelfde als de eigenlijke integraal, maar wordt berekend van -\infty tot +\infty. Dit wordt genoteerd als:

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx.

[bewerken] Twee hoofdstellingen van de integraalrekening

[bewerken] Eerste hoofdstelling

Simpel gezegd: Integreren is de inverse bewerking van differentiëren.

(\int_{a}^{x}f(t)dt)'= f(x)

[bewerken] Tweede hoofdstelling

\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)

Waarbij f een primitieve functie wordt genoemd van f'.

[bewerken] Beknopte, meestgebruikte integralen

[bewerken] Eigenlijke integralen

\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}

\int \frac{1}{x}=\ln|x|

\int \ln(x) dx= x\ln(x)-x

\int e^x dx = e^x

\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)}

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}

\int \sin(x)dx=-\cos(x)

\int \tan(x) dx = -\ln|\cos{x}|

\int \sinh(x)dx = \cosh(x)

\int \tanh(x)dx = \ln|\cosh(x)|

Alle andere integralen kunnen hieruit makkelijk worden afgeleid.

[bewerken] Oneigenlijke integralen

\int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

\int_{0}^{+\infty} \frac{x^3dx}{e^x-1}=\frac{\pi^2}{15}

\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

\int_{0}^{+\infty} \frac{xdx}{e^{x-1}}=\frac{\pi^2}{6}

\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)dx}{x}=\frac{\pi}{2}

\int_{0}^{+\infty} x^{z-1}e^{-x}dx=\Gamma(z) met Γ(z) de Gammafunctie.




[bewerken] bron

Cursus wiskundige analyse 1; universiteit Gent; Prof. C. Impens.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen