Wiskunde/Getallen

Uit Wikibooks
Ga naar: navigatie, zoek
Inhoudsopgave Wiskunde
Hoofdstukken
  1. Algebra
  2. Getallen
  3. Meetkunde
  4. Oppervlakte
  5. Pythagoras
  6. Rekenkunde
  7. Talstelsels
  8. Vergelijkingen en ongelijkheden
  9. Volume

Getallen[bewerken]

Naast de bekende getallen, zoals 1,2,3,... en 1/2, 2/5, ... zijn er nog veel andere getallen. Bovendien kan een getal op verschillende manieren weergegeven worden. Denk maar aan Romeinse cijfers. Zo'n manier van weergeven noemen we een talstelsel. Het gebruikelijkste talstelsel van mensen is het decimale stelsel, een positiestelsel dat getallen vormt met de cijfers 0 t/m 9. In de computerwereld worden het binaire en het hexadecimale stelsel veel gebruikt.

Deze pagina geeft een korte samenvatting van verschillende soorten getallen, voor uitgebreidere beschrijvingen, zie Rekenen, de Wikipedia-links geven meer achtergrond informatie. Deze samenvatting over getallen maakt ook gebruik van de beschikbare informatie elders op Wikibooks en Wikipedia.

Natuurlijke Getallen[bewerken]

De natuurlijke getallen zijn de getallen waarmee we tellen, dus de aantallen. Er is een kleinste natuurlijk getal, tegenwoordig 0, maar vroeger 1, en bij elk getal een volgende. Op 0 volgt 1, dan 2, enz. We kunnen de natuurlijke getallen voorstellen als alle rijen cijfers (0 t/m 9) van willekeurige lengte, zonder decimaalteken(,) of minteken(-). Het symbool van de natuurlijke getallen is \mathbb{N}.


Zie ook natuurlijke getallen bij:

Wikibook Rekenen

Wikipedia

Gehele Getallen[bewerken]

Gehele getallen zijn alle natuurlijke getallen, samen met hun tegengestelden, de negatieve getallen. Hieronder vallen alle rijen cijfers (0 t/m 9), zonder decimaalteken(,) met of zonder minteken(-) Gehele getallen zijn te verdelen in even (2,4,6,8...) en oneven (1,3,5,7,...) getallen. Negatieve getallen worden als volgt weergegeven: -1,-2,-3,-10,-25,... Omdat het (-)teken duidelijk aangeeft, welke getallen negatief zijn, hoeven positieve getallen niet aangeduid te worden met een (+)teken.

Het symbool is \mathbb{Z}

Zie ook:

Wikibook Rekenen

Wikipedia

Rationale Getallen[bewerken]

Rationale getallen zijn getallen die als breuk te schrijven zijn in de vorm \tfrac {a}{b}, waarbij a en b beide een geheel getal zijn met b \ne 0. Ook de gehele getallen zijn rationale getallen, want -5=\tfrac{-5}{1}. Het symbool van deze verzameling is \mathbb{Q}

Let op! Niet elk getal is een rationaal getal. Ongeacht dat je dat misschien nu zou denken. Het getal \pi (pi) is bijvoorbeeld niet in de vorm \tfrac {a}{b} te schrijven. zie hiervoor de reële getallen.

Zie ook:

Wikibook Rekenen

Wikipedia

Irrationale Getallen[bewerken]

Irrationale getallen zijn getallen die niet te schrijven zijn als het quotiënt (deling) van twee gehele getallen. Veel wortels kunnen niet geschreven worden als een rationaal getal, bijvoorbeeld de wortel van 2. Een ander bekend irrationaal getal is pi.

Zie ook:

Wikipedia

Reële Getallen[bewerken]

De rationale en irrationale getallen heten samen de reële getallen. Het symbool is \mathbb{R}. Irrationale getallen zijn getallen waarin we geen regelmaat herkennen. Neem nu \pi (pi). Dit getal is bij benadering 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279... zoals op Wikipedia te zien is. Als je kijkt, zie je geen enkele regelmaat erin. Er is geen periode. Als die er was, konden we het getal als breuk schrijven, maar dat gaat dus niet. Het getal \tfrac {2}{3} heeft wel een periode en is dus rationaal. Je kan pi dus schrijven als deze letter: \pi. Je kan \pi niet schrijven als een breuk, bijvoorbeeld, \tfrac {314}{10}. Andere irrationale getallen zijn \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} en ga zo maar door. De irrationale getallen zijn dus wat overblijft als je de rationale getallen uit de reële getallen weglaat; wiskundige notatie: \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}. Er geldt dus: \pi \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, \sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, \sqrt{3} \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} en \sqrt{5} \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}. Het symbool \in staat voor element van.

Noot: \sqrt{1} en \sqrt{4} zijn wel rationaal, want dat zijn de natuurlijke getallen 1 en 2; notatie: 1 \in \mathbb{N}, 2 \in \mathbb{N}

Zie ook:

Wikibook Rekenen

Wikipedia

Complexe Getallen[bewerken]

Een complex getal is een uitdrukking in de vorm a+bi. a en b staan voor reële getallen, en voor het complexe getal i geldt: i^2=-1

Zie ook:

Wikibook Rekenen

Wikipedia

Bijzondere Getallen[bewerken]

Er zijn getallen met speciale eigenschappen. Naast het hierboven genoemde getal i, waarvoor geldt dat i^2=-1, zijn er bijvoorbeeld het getal pi (\pi) en het getal van Euler (e).


Benaderde waarden - eigenlijk gewoon afrondingen - zijn \pi \approx 3,14 en e \approx 2,72; beide getallen lopen oneindig ver door achter de komma zonder dat er ooit een patroon optreedt. Je kan dus nooit met zekerheid voorspellen welke de volgende decimaal gaat zijn zonder deze decimaal ook echt uit te rekenen. Beide worden gebruikt in de meetkunde en vele andere takken van de wiskunde en de natuurkunde. Als men in de wiskunde een afgeronde uitkomst (benaderde waarde) moet opschrijven, gebruiken we het 'golvend' gelijkheidsteken (\approx).


Daarnaast worder er hieronder nog enkele bijzondere getallen uitgelegd, op de Wikipedia pagina over natuurlijke getallen vind je nog meer voorbeelden.

Het getal 0[bewerken]

Het getal 0 is een geval apart. Het is niet positief of negatief, het is een neutraal getal. Rekenen met nul is in sommige gevallen verwarrend:

x+0=x
0+x=x
x-0=x
0-x=-x
x*0=0
0*x=0
0/x=0, als x niet gelijk is aan nul
x/0 is niet gedefineerd, ook niet als x zelf nul is; door nul kan niet worden gedeeld

De reden waarom je 0 niet door 0 kan delen is simpel. Als we zouden stellen dat 6/3=2 want 2*3=6 ( in letters: x/y=z \Leftrightarrow z*y=x), dan kunnen we elk getal invullen: 0/0=1254 want 1254*0=0, 0/0=1 want 1*0=0, 0/0=x \Leftrightarrow 0x=0 enz.


Zie ook:

Getal 0

Delen door 0

Priemgetallen[bewerken]

Priemgetallen zijn natuurlijke getallen, deelbaar door precies twee verschillende positieve natuurlijke getallen. Omdat x/1=x en x/x=1, is een eenvoudigere definitie: natuurlijke getallen die alleen deelbaar door zichzelf en 1, met uitzondering van het getal 1. Er zijn oneindig veel priemgetallen, waarvan slechts één even getal, 2. Priemgetallen tot honderd zijn gemakkelijk te vinden met de zeef van Eratosthenes.

Thumbnail Zeef van Eratosthenes

zie ook (met leuke animatie): Priemgetal op Wikipedia

zeef van Eratosthenes op Wikipedia


De priemgetallen tot honderd zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Als je een lijst van de eerste 10.000 priemgetallen wil zien, kijk even op de pagina priemgetallen


Zie ook:

Priemgetal op Wikipedia

Parameters[bewerken]

Een parameter is een letter of symbool die gebruikt wordt als getal. Een parameter kan gebruikt worden als hier kan elk reëel getal ingevuld worden (vaak gebruikt om vanuit een voorbeeld naar een abstracte algemene regel te redeneren), of als een getal waarvan de waarde nog niet bekend is. Veel voorkomende variabelen zijn: a, b, c (stelling van Pythagoras, ABC-formule), n (geeft meestal het aantal getallen in een reeks aan), p, q (o.a. veel gebruikt bij uitleg over machten), \alpha\ , \beta\ , \gamma\ , \delta\ (alpha, beta, gamma, delta).

Andere veel voorkomende letters zijn x en y. Dit zijn variabelen. In de meeste functies is x de exogene variabele (de invoer), en y de endogene variabele (de uitkomst).

 

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.