Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen

Uit Wikibooks

Een enkelvoudige elektrische transmissielijn bestaat uit twee equidistante geleiders van een bepaalde lengte L en homogene structuur. De geleiders hebben een zekere ohmse weerstand en zefinductie en t.o.v. elkaar geleiding en capaciteit. Al deze parameters zijn evenredig met de lengte. Per lengte-eenheid worden ze gedistribueerde parameters genoemd, aangeduid met r, l, g en c. De lijn is belast, afgesloten, met een belastingimpedantie $Z L$ . De ruimte tussen de geleiders is (deels) gevuld met een diëlektricum, hetgeen de golfsnelheid van de lijn beïnvloedt.

    -┼────────────────────────────────────────────┼─
                                                 ┌┴┐     parameters:                                         
                                                 │ │     
                                                 │ │     r, l, g, c
                                                 └┬┘ 
    -┼────────────────────────────────────────────┼─ 
     0                   --> x                    L

Aan het begin van de lijn (x=0) is een signaalbron aangesloten. Beschouw een stukje x,x+dx van de lijn. Spanning en stroom bij x geven we aan met resp. u(x,t) en i(x,t).

           cdx   gdx        rdx        ldx
                         ________
    -┼──────┬─────┬─────[________]───√√√√√√──────┼────
            │    ┌┴┐                                             
           ─┴─   │ │ 
           ─┬─   │ │
            │    └┬┘ 
    -┼──────┴─────┴──────────────────────────────┼──── 
     x                                         x+dx 
    u(x,t)                                   u(x+dx,t)
    i(x,t)                                   i(x+dx,t)

De gedistribueerde parameters c, g, r en l zijn resp. de capaciteit, de (parallel)geleiding, de (serie)weerstand en de zelfinductie per lengte-eenheid van de lijn. We kunnen differentiaalvergelijkingen opstellen voor u en i. Er geldt:

$u(x+dx,t+dt) - u(x,t) = - u_r - u_l \,$

en

$i(x+dx,t+dt) - i(x,t) = - i_c - i_g \,$

Voor de capaciteit c.dx geldt:

$i_c = c \cdot dx \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\,$ ,

en voor de zelfinductie l.dx:

$u_l = l \cdot dx \frac{\partial i(x,t)}{\partial t}\,$ .

Invullen in de genoemde differentiaalvergelijkingen levert:

$i(x+dx,t) - i(x,t) = - i_c - i_g = - c \cdot dx \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - g \cdot dx u(x,t)\,$

zodat

$\frac{i(x+dx,t) - i(x,t)}{dx} = - c \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - g \cdot u(x,t)\,$

of

$-\frac{\partial i(x,t)}{\partial x} = c \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + g \cdot u(x,t)\,$

Aaloog vinden we:

$-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = r \frac{\partial i(x,t)}{\partial t} + l \cdot i(x,t)\,$

De beide vergelijkingen heten de telegraafvergelijkingen. Ze zijn lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met harmonische analyse.

We beschouwen daarom een sinusvormig signaal met frequentie f en dus met cirkelfrequentie ω = 2πf. We rekenen complex en schrijven u i.p.v. $\underline{u}$ en i i.p.v. $\underline{i}$

De vergelijkingen worden:

$-\frac{\partial i}{\partial x} = (g+ j\omega c)u\,$

en

$-\frac{\partial u}{\partial x} = (r+ j\omega l)i\,$

We noemen

$\,\gamma = \sqrt{(g + j\omega c)(r + j\omega l)}$ de voortplantingscoefficient

en

$\,Z_0 = \sqrt{\frac{r + j\omega l}{g + j\omega c}}= \sqrt{\frac{(r + j\omega l)(g - j\omega c)}{g^2+\omega^2c^2}}$ , de karakteristieke impedantie.

Voor het gemak drukken we alle grootheden uit in de karakteristieke impedantie. Zo voeren we in:

$\, v=Z_0i$

dan krijgen de vergelijkingen de eenvoudige vorm

$\frac{\partial u}{\partial x} = -\gamma v\,$

en

$\frac{\partial v}{\partial x} = - \gamma u\,$ .

met als oplossingen:

$\,u(x) = Ae^{-\gamma x} + Be^{+\gamma x}$

en

$\,v(x) = Ae^{-\gamma x} - Be^{+\gamma x}$ .

← Vorige • Transmissielijnen • Volgende →

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.

Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen

Uit Wikibooks

Weergaven

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Afdrukken/exporteren

Hulpmiddelen