Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen

Uit Wikibooks

Een enkelvoudige elektrische transmissielijn bestaat uit twee equidistante geleiders van een bepaalde lengte L en homogene structuur. De geleiders hebben een zekere ohmse weerstand en zefinductie en t.o.v. elkaar geleiding en capaciteit. Al deze parameters zijn evenredig met de lengte. Per lengte-eenheid worden ze gedistribueerde parameters genoemd, aangeduid met r, l, g en c. De lijn is belast, afgesloten, met een belastingimpedantie $Z L$ . De ruimte tussen de geleiders is (deels) gevuld met een diëlektricum, hetgeen de golfsnelheid van de lijn beïnvloedt.

    -┼────────────────────────────────────────────┼─
                                                 ┌┴┐     parameters:                                         
                                                 │ │     
                                                 │ │     r, l, g, c
                                                 └┬┘ 
    -┼────────────────────────────────────────────┼─ 
     0                   --> x                    L

Aan het begin van de lijn (x=0) is een signaalbron aangesloten. Beschouw een stukje x,x+dx van de lijn. Spanning en stroom bij x geven we aan met resp. u(x,t) en i(x,t).

           cdx   gdx        rdx        ldx
                         ________
    -┼──────┬─────┬─────[________]───√√√√√√──────┼────
            │    ┌┴┐                                             
           ─┴─   │ │ 
           ─┬─   │ │
            │    └┬┘ 
    -┼──────┴─────┴──────────────────────────────┼──── 
     x                                         x+dx 
    u(x,t)                                   u(x+dx,t)
    i(x,t)                                   i(x+dx,t)

De gedistribueerde parameters c, g, r en l zijn resp. de capaciteit, de (parallel)geleiding, de (serie)weerstand en de zelfinductie per lengte-eenheid van de lijn. We kunnen differentiaalvergelijkingen opstellen voor u en i. Er geldt:

$u(x+dx,t+dt) - u(x,t) = - u_r - u_l \,$

en

$i(x+dx,t+dt) - i(x,t) = - i_c - i_g \,$

Voor de capaciteit c.dx geldt:

$i_c = c \cdot dx \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\,$ ,

en voor de zelfinductie l.dx:

$u_l = l \cdot dx \frac{\partial i(x,t)}{\partial t}\,$ .

Invullen in de genoemde differentiaalvergelijkingen levert:

$i(x+dx,t) - i(x,t) = - i_c - i_g = - c \cdot dx \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - g \cdot dx u(x,t)\,$

zodat

$\frac{i(x+dx,t) - i(x,t)}{dx} = - c \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - g \cdot u(x,t)\,$

of

$-\frac{\partial i(x,t)}{\partial x} = c \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + g \cdot u(x,t)\,$

Aaloog vinden we:

$-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = r \frac{\partial i(x,t)}{\partial t} + l \cdot i(x,t)\,$

De beide vergelijkingen heten de telegraafvergelijkingen. Ze zijn lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met harmonische analyse.

We beschouwen daarom een sinusvormig signaal met frequentie f en dus met cirkelfrequentie ω = 2πf. We rekenen complex en schrijven u i.p.v. $\underline{u}$ en i i.p.v. $\underline{i}$

De vergelijkingen worden:

$-\frac{\partial i}{\partial x} = (g+ j\omega c)u\,$

en

$-\frac{\partial u}{\partial x} = (r+ j\omega l)i\,$

We noemen

$\,\gamma = \sqrt{(g + j\omega c)(r + j\omega l)}$ de voortplantingscoefficient

en

$\,Z_0 = \sqrt{\frac{r + j\omega l}{g + j\omega c}}= \sqrt{\frac{(r + j\omega l)(g - j\omega c)}{g^2+\omega^2c^2}}$ , de karakteristieke impedantie.

Voor het gemak drukken we alle grootheden uit in de karakteristieke impedantie. Zo voeren we in:

$\, v=Z_0i$

dan krijgen de vergelijkingen de eenvoudige vorm

$\frac{\partial u}{\partial x} = -\gamma v\,$

en

$\frac{\partial v}{\partial x} = - \gamma u\,$ .

met als oplossingen:

$\,u(x) = Ae^{-\gamma x} + Be^{+\gamma x}$

en

$\,v(x) = Ae^{-\gamma x} - Be^{+\gamma x}$ .

← Vorige • Transmissielijnen • Volgende →

De wijzigingen aan deze pagina van voor 15 april 2007 vallen alléén onder de GFDL, en niet onder de CC-BY-SA-licentie.
U kunt de inhoud van deze pagina dan ook alleen onder de voorwaarden van de GFDL (her)gebruiken.

Niet alle bijdragers van voor 15 april 2007 hebben hun werk vrijgegeven onder de dubbellicentie GFDL&CC-BY-SA. Kijk hier voor meer informatie.
Lijst van gebruikers die hun wijzigingen niet hebben vrijgegeven onder beide licenties

Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen

Uit Wikibooks

Aspecten/acties

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Hulpmiddelen