Rekenen/Worteltrekken

Uit Wikibooks

Bij het machtsverheffen hebben we gezien dat een tweede macht ook kwadraat (vierkant) wordt genoemd. Dit hangt samen met de oppervlakte van een vierkant, die het kwadraat van de lengte van een zijde is. Zo is:

$\, 4^2 = 16$

en

$\, 123^2 = 14769$

Wat nu als we willen weten van welk getal 16 of 14769 het kwadraat is? Van 16 weten we het vermoedelijk wel, maar van 14769? We noemen zo'n getal de (vierkants)wortel en schrijven:

$\sqrt{16} = 4$ (de wortel uit zestien is vier)

en

$\sqrt{14769} = 123$

De berekening om de wortel te bepalen noemen we worteltrekken.

Maar ook het kwadraat van -4 is gelijk aan 16:

$\, (-4)^2 = 16$ ,

dus we zouden ook -4 als wortel van 16 kunnen opvatten. Dat willen we niet, daarom spreken we af dat een wortel niet negatief mag zijn. De wortel uit een getal is dus het positieve getal (of 0) waarvan het kwadraat het oorspronkelijke getal oplevert.

Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, kunnen we alleen de wortel trekken uit niet-negatieve getallen.

We hoeven ons niet te beperken tot getallen waarvan de wortel een mooi geheel getal is, de zgn. kwadraten (0, 1, 4, 9, 16, 25, enz.), zo is:

$\sqrt{2{,}25} = \sqrt{\frac 94} = \frac 32 = 1{,}5$

en

$\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ .

Maar wat is $\sqrt{2}$ of $\sqrt{3}$ ? Omdat:

$\,1 < 2 < 4$ ,

zal ook gelden:

$1 < \sqrt 2 < 2$ .

Ook:

$\, 14^2 = 196 < 200 < 225 = 15^2$ ,

zodat:

$14 < \sqrt{200} = 10 \times \sqrt 2 < 15$ ,

dus

$1{,}4< \sqrt 2 < 1{,}5$ .

We kunnen zo verder gaan:

$\,141^2 = 19881 < 20000 < 20164 = 142^2$ ,

zodat:

$141 < 100 \times \sqrt 2 < 142$ ,

dus

$1{,}41< \sqrt 2 < 1{,}42$ .

Zo kunnen we doorgaan en de decimalen van $\sqrt{2}$ bepalen. Dan zou blijken dat de decimalen niet eindigen, maar ook niet repeteren. We hebben een nieuw soort getal ontdekt op de getallenrechte. Een getal dat niet een rationaal getal is; we noemen het daarom een irrationaal getal.

De boven uitgevoerde methode om de decimalen van $\sqrt{2}$ te bepalen is wat omslachtig. Er is een systematische methode om de wortel uit een getal te trekken. We zullen in de praktijk, net als voor andere berekeningen, een rekenmachine te hulp roepen, die moeiteloos de gewenste berekeningen uitvoert. Daarbij is het goed mogelijk dat de rekenmachine het hieronder getoonde algoritme gebruikt om een wortel te trekken.

We trekken de wortel uit 5625. We delen het getal in stukken van twee cijfers, gerekend vanaf de plats van de (eventuele) komma: 56|25. Net als bij een staartdeling schrijven we achter het getal een \ en daarachter het resultaat. In stapjes ziet dat er zo uit:

      56|25 \ ?
  ?x?=

      56|25 \ 7
      49
      --
       7 25
14?x?=             (schrijf 2 x 7 =14 en zoek een cijfer ? zodat 14? x ? afgetrokken kan worden.
     
      56|25 \ 75
      49
      --
       7 25
145x5= 7 25       
       ----
          0

Dus

$\sqrt{5625} = 75$ , immers 75x75=4900+700+25 = 5625.

We berekenen zo ook de wortel uit 1024.

     1024 \ 32
3x3=  9
     --
      124
62x2= 124         (schrijf 2 x 3 =6 en zoek een cijfer ? zodat 6? x ? afgetrokken kan worden.
      ---
        0

Dus

$\sqrt{1024} = 32$ .

En ook berekenen we $\sqrt{123454321}$ .

        1 23 45 43 21 \ 11111
  1x1=  1
        -
        0 23
  21x1= 0 21          (schrijf 2 x 1 =2 en zoek een cijfer ? zodat 2? x ? afgetrokken kan worden.           
        ----
           2 45
  221x1=   2 21       (schrijf 2 x 11 =22 en zoek een cijfer ? zodat 22? x ? afgetrokken kan worden.     
           ----
             24 43
  2221x1=    22 21    (schrijf 2 x 111 =222 en zoek een cijfer ? zodat 222? x ? afgetrokken kan worden.     
             -----
              2 22 21
  22221x1=    2 22 21   
              -------
                  0

Dus

$\sqrt{123454321} = 11111$ .

Als laatste voorbeeld berekenen we $\sqrt{155372019}$ .

        1 55 37 20 19 \ 12464,8
  1x1=  1
        -
        0 55
  22x2= 0 44             (schrijf 2 x 1 =2 en zoek een cijfer ? zodat 2? x ? afgetrokken kan worden.  
        ----
          11 37
  244x4=   9 76          (schrijf 2 x 12 =24 en zoek een cijfer ? zodat 24? x ? afgetrokken kan worden.  
          -----
           1 61 20
  2486x6=  1 49 16       (schrijf 2 x 124=248 en zoek een cijfer ? zodat 248? x ? afgetrokken kan worden.
           -------
             12 04 19
  24924x4=    9 96 96   
             --------
              2 07 23 00
  249288x8=   1 99 75 04
             -----------
  enz.

Dus

$\sqrt{155372019} = 12464{,}8...$ .

[bewerken] Hogere-machtswortels

Behalve de tweedemachts- of vierkantswortel bestaan er ook hogere-machtswortels. Zoals de vierkantswortel a.h.w. bij een kwadraat hoort, zo hoort de derde-machtswortel bij een derde macht:

$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5\times 5 \times 5} = 5$ (de derde-machtswortel uit 125 is 5).

Dus:

$\sqrt[3]{125} = 5$ ,

omdat

$5\times 5 \times 5 = 5^3=125$

Zo is ook:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} =2$ ,

omdat

$\,2^4= 16$ .

Ook:

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2 }= \sqrt 2$ (de vierde-machtswortel uit vier is wortel twee).

← Vorige • Rekenen • Volgende →

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.

Rekenen/Worteltrekken

Uit Wikibooks

[bewerken] Hogere-machtswortels

Weergaven

Persoonlijke instellingen

Navigatie

Zoeken

zusterprojecten

Afdrukken/exporteren

Hulpmiddelen