Mechanica van materialen

Uit Wikibooks

Mechanica van materialen

Krachten, momenten, spanningen en rekken Krachten Statica Momenten Rek Wet van Hooke Opgelegde vervorming Elastische vervorming Structureel gedrag Geometrische eigenschappen dwarsdoorsnede Snedekrachten Verplaatsingen Mechanische eigenschappen Materiaalmodel Materiaalproeven Spanningscriterium WSBN

Dit boek behandelt de krachtwerking, en het resultaat ervan, in homogene lichamen. Deze cursus is gedeeltelijk gebaseerd op een cursus van Ahmed masoud uit de Engelstalige wikibooks, maar aangepast door Gebruiker:MADe.

Inhoud 1 Inleiding 1.1 Krachten 1.2 Spanning 1.3 Rek 1.4 Wet van Hooke 1.5 Poisson-factor 1.6 Temperatuurseffecten 1.7 Energie opgenomen in het materiaal 1.8 Principe van Saint-Venant 1.9 Elastische en plastische vervorming 1.10 Glijding en modulus 1.11 Veralgemeende wet van Hooke 1.12 Verband tussen de E, G en ν 1.13 Voorbeeld: drukvat 2 Torsion 2.1 Torsion Formula 2.2 Angle of Twist 3 Spanningen 3.1 Hoofdspanningen 3.2 Stress Invariants 3.3 Hydrostatic Stress 3.4 Deviatoric Stresses 3.5 Mohr's Circle 3.5.1 Mohr's Circle for Common Cases 3.6 Failure Criteria 3.6.1 Maximum Shear Stress Criterion 3.6.2 Maximum Distortion Energy Criterion 3.6.3 Failure of Materials

[bewerk] Inleiding

De Mechanica van materialen is de studie die zich bezighoudt met krachten, stabiliteit en vervormingen van materialen. In dit boek veronderstellen we dat de gebruikte materialen homogeen zijn, wat wil zeggen dat de eigenschappen in ieder punt van het materiaal gelijk zijn (dit is een benadering van de werkelijkheid) en dat deze eigenschappen ook gelden op infinitesimaal kleine schaal.

[bewerk] Krachten

Er zijn verschillende types krachten die op een lichaam kunnen werken. In de mechanica wordt vaak met een puntkracht gewerkt, een kracht die op één punt van het lichaam aangrijpt. In de praktijk echter zullen aangebrachte krachten hun werking spreiden over een bepaald oppervlak of volume. Deze laatste. volumekrachten genoemd, zijn krachten die "in" het bewuste lichaam werken, zoals de zwaartekracht, of magnetische aantrekking. Voor starre lichamen kunnen volumekrachten echter wat hun werking betreft als puntkracht met een geschikt aangrijpingspunt beschouwd worden; zo is de volumekracht zwaartekracht equivalent met een puntkracht aangrijpend in het zwaartepunt van het lichaam.

Voor ieder lichaam in evenwicht (een lichaam niet in versnelde beweging) geldt de derde wet van Newton, die zegt dat de aangebrachte krachten door andere krachten (bijv. reactiekrachten) tegengewerkt worden. In twee dimensies kunnen uit die derde wet drie vergelijkingen gedestilleerd worden: de som van de horizontale en de som van de verticale krachten aangrijpend op het lichaam is nul, en het krachtmoment in een willekeurig punt is ook nul (deze laatste voorwaarde houdt in dat het lichaam niet roteert).

Deze voorwaarden van actie en reactie gelden niet alleen voor het totale lichaam, maar ook voor iedere willekeurige doorsnede van het lichaam.

Consider a body which has several external forces acting on it. If we take an imaginary section of the body, each of the parts should also be in equilibrium. Now, consider an elemental area dA in that section. Let the force acting on the elemental area so that the whole body is in equilibrium be dF. We can resolve this force in three mutually perpendicular directions. Let the component of the force normal to the surface be dF_z. Let the components in the plane of dA be dF_x and dF_y respectively.

[bewerk] Spanning

[bewerk] Rek

Als op een materiaal een trekkracht uitgeoefend wordt, zal het materiaal in meer of mindere mate rek vertonen. De mate van de rek hangt behalve van de aangelegde kracht, af van de vorm van het materiaal en een materiaaleigenschap. De (relatieve) rek ε van een materiaal wordt gedefinieerd als de verhouding van de lengteverandering ΔL en de originele lengte L. De (relatieve) rek ε is dus een dimensieloze grootheid:

.

De relatieve rek wordt ook wel technische rek genoemd, omdat het de grootheid is die men experimenteel meet. Van een materiaal dat eerst een rek ε₁ ondergaat en daarna een rek ε₁, is de totale rek echter niet ε₁ + ε₂. Immers:

Dat is een onplezierige eigenschap van de technische rek die ontstaat doordat we pas optellen als er al veel uitgerekt is. We moeten eigenlijk steeds na een heel klein beetje uitrekken de rek bijtellen. Dat komt neer op een integraal van de technische rek. De zo gedefinieerde rek heet ware rek:

Ware rekken kunnen wel opgeteld worden. Als eerst gerekt is van L₀ naar L₁ en vervolgens van L₁ naar L₂, is de ware rek:

Hebben we de beweging van alle punten van de constructie gegeven als een functie u(x), dan kan de langsrek berekend worden als . De totale vervorming van de constructie is dan

Rekstrookje

Een rekstrookje is een elektronische component waarmee de mate van uitrekken of inkrimpen van een materiaal kan worden gemeten. Ook het al of niet onder torsie staan, kan hiermee worden bepaald.

Een rekstrookje bestaat uit een folie met daarop een elektrische geleider. Men plakt dit strookje aan het voorwerp waarvan de rek gemeten moet worden. De werkingswijze van een rekstrookje berust op het principe dat bij een gelijkblijvende vierkantsweerstand van een elektrische geleider de weerstand tussen twee tegenovergestelde zijden van een rechthoekig vlak van deze geleider bepaald wordt door de hoogte/breedte verhouding daarvan.

Als het rekstrookje uitgerekt wordt, dan wordt de daarop aangebrachte elektrische geleider een fractie langer, en gelijktijdig een fractie smaller (en tevens ook een fractie dunner, wat de vierkantsweerstand ook nog doet stijgen). Daardoor stijgt de elektrische weerstand van het rekstrookje een fractie, en dat kan met een gevoelige weerstandsmeter gemeten worden.

[bewerk] Wet van Hooke

De wet van Hooke zegt dat de uitrekking van een materiaal recht evenredig is met de (normaal)kracht welke op de veer wordt uitgeoefend. Deze wet werd door Robert Hooke empirisch vastgesteld bij veren.

In formulevorm:

hier is E de proportionaliteitsconstante. E is ongeveer constant bij alle materialen (zelfs indien ze gelegeerd zijn), en wordt de elasticiteitsmodulus genoemd.

In deze cursus werken we met homogene materialen, zodat de eigenschappen in alle punten gelijk zijn. Dit wil niet noodzakelijk zeggen dat de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn. Materialen die hieraan voldoen (bijv. metalen) zijn isotroop. Materialen waar de eigenschappen verschillen per richting, zoals hout, zijn anisotroop.

Vullen we de wet in in de gegeven vergelijking, dan komt er:

Of

[bewerk] Poisson-factor

We hebben gezien dat de rek evenwijdig aan een aangebrachte spanning beschreven wordt door de wet van Hooke. Bij proeven constateert men verder dat wanneer men aan een materiaal in een bepaalde richting trekt, het materiaal stuikt in de richtingen loodrecht op de aangebrachte richting.

Deze dwarsrek is in vele materialen lineair verbonden met de langsrek. De verhouding van de dwarsrek op de langsrek is de Poisson-factor ν (Poisson ratio, of factor van Poisson):

De grootte van de dwarsrek is dan: .

Let op het minteken, wanneer het materiaal in de langsrichting wordt samengedrukt, dan rekt het in dwarsrichting uit, en omgekeerd.

Theoretisch is de waarde van de poissonfactor begrensd: ; in de praktijk is het onwaarschijnlijk (hoewel niet onmogelijk [1], [2]) dat een materiaal dat onder druk wordt gezet dwars krimpt: praktisch is ν

Enkele materialen en hun Poisson-factor

Bij metalen is de modulus ongeveer (het volume bij trekspanning blijft dus niet constant: het materiaal zet uit). Bij een ν van 0,5 is de compressiemodulus (zie verder) oneindig, welke kracht ook op het materiaal aangebracht wordt, het volume blijft constant, dus is de kracht nodig om het volume te veranderen "oneindig".

materiaal	poisson factor
aluminiumlegering	0,33
gietijzer	0,21-0,26
glas	0,24
klei	0,30-0,45
kurk	ca. 0,00
rubber	0,50
staal	0,27-0,30

Aangepaste wet van Hooke

...

[bewerk] Temperatuurseffecten

Bijna alle materialen veranderen van lengte bij een temperatuursverschil. Deze uitzetting wordt gekarakteriseerd door α, de thermische uitzettingscoëfficiënt.

De rek van een materiaal door een temperatuursverschil is ε = α.ΔT.

Om juister te zijn is de rek t.o.v. een basistemperatuur T₀ gegeven door ε = α.(T − T₀).

Wanneer deze rek echter tegengehouden wordt, bijvoorbeeld omdat beide zijden vast verbonden zijn, spreekt men van een verhinderde vervorming. Deze verhindering kan tot grote spanningen leiden.

[bewerk] Energie opgenomen in het materiaal

Wanneer een materiaal aan een normaalkracht onderworpen wordt, wordt de uitgeoefende energie in het materiaal opgeslagen. Bij het aanbrengen van de kracht zal het materiaal rekken, waardoor de aangrijpingskracht zal veranderen, en energie verbruikt wordt.

De energie die opgeslagen wordt in een materiaal is de oppervlakte onder de trek-rek kromme. Deze oppervlakte is tevens een maatstaaf voor de taaiheid van materiaal. Voor een veer, met een lineaire trek-rek kromme, de veerconstante k en een rek x is dit oppervlak gelijk aan 1/2 k x². Voor een staaf, met een 'veerconstante' en een rek , is de opgeslagen energie .

Een gedeelte van de opgenomen energie wordt gebruikt om het materiaal plastisch te vervormen, het gedeelte van de elastische vervorming komt bij het bezwijken van het materiaal opnieuw vrij. Dit zorgt bij brosse materialen, materialen met alleen een elastische vervorming , tot een knap-breuk. Het gebruik van brosse materialen bijv. bij de constructie van bouwwerken wordt vermeden niet alleen omdat er knapbreuken optreden, maar ook omdat de breuk onaangekondigd gebeurd: de rek bij breuk is namelijk erg klein.

[bewerk] Principe van Saint-Venant

Tot hiertoe hebben we verondersteld dat een puntkracht zich onmiddelijk volledig over het oppervlak van het materiaal verdeeld volgens , en niet voor een geconcentreerde belasting zorgt. In werkelijkheid geldt deze veronderstelling slechts op een bepaalde afstand van de aangebrachte kracht. Volgens de Franse wetenschapper Saint-Venant is deze afstand gelijk aan de breedte van de balk.

[bewerk] Elastische en plastische vervorming

Tot hier hebben we telkens verondersteld dat materialen elastisch reageren wanneer er een kracht aangebracht wordt, zodat aan de wet van Hooke voldoen is. Wordt de belasting van het materiaal verwijderd, dan keert de oorspronkelijke vorm van het materiaal terug. Vandaar de benaming "elastische" vervorming. Dit is waar voor de meeste materialen wanneer een kleine spanning aangebracht wordt. Brosse materialen (beton, hardmetalen, glas) vervormen elastisch tot breuk optreedt.

Wanneer grotere belastingen op een materiaal aangebracht worden, bijvoorbeeld bij een bezwijkanalyse dan zullen zgn. "ductiele" dan geldt het verband tussen de rek en de belasting niet meer, en zal het materiaal een plastische vervorming vertonen. Wanneer de belasting verwijderd wordt dan keert het elastische deel van de vervorming terug, de plastische vervorming blijft nog steeds aanwezig. De maximale trekspanning die een constructie-element kan verdragen zonder plastisch te vervormen heet de vloeigrens.

Bij plastische vervorming glijden kristalblokken langs elkaar, waarbij lijnvormige fouten ontstaan en de materiaalspanning toeneemt. Hiermee neemt de weerstand tegen verdere vervorming toe, wat tot uitdrukking komt in een grotere hardheid. Bij eenkristallen, enkelvoudige kristallen zonder fouten, is plastische vervorming het gemakkelijkst. Ook het kristalrooster van het metaal kan van invloed zijn; een hexagonaal kristalrooster is bijvoorbeeld aanmerkelijk moeilijker te vervormen dan een kubisch ruimtelijk gecentreerd rooster.

Bij het toevoegen van ionen van een ander metaal, legeren, kunnen spanningen ontstaan wanneer de 'vreemde' ionen niet goed in het kristalrooster passen. Dit maakt plastische vervorming moeilijker en de hardheid groter.

[bewerk] Glijding en modulus

Hierboven zagen we dat voor een normaalspanning aangebracht op een materiaal de wet van Hooke geldt. Een soortgelijk verband geldt ook tussen een aangebrachte schuifspanning τ en de afschuifhoek die optreedt γ: τ = Gγ. De verhoudingsconstante in deze gelijkheid is de glijdingsmodulus (vergelijk met de elasticiteitsmodulus). In tegenstelling tot bij normaalkrachten heeft een schuifspanning enkel invloed op de glijding evenwijdig met de spanning, en niet op de glijding in loodrecht op de kracht staande richtingen.

[bewerk] Veralgemeende wet van Hooke

Tot hiertoe hebben we drie materiaalconstanten gezien die het gedrag van een materiaal op een aangebracht spanning beschrijven: E, G en ν.

Wordt met materiaal tegelijkertijd door normaalspanningen in allerlei richtingen belast, dan is de rek in een bepaalde richting een resultaat van alle aangebrachte normaalspanningen. Beschouwen we een een kubus die met drie normaalspanningen, volgens de x-, y- en z-as, belast wordt met normaalspanningen σ_x, σ_y en σ_z, dan kunnen de rekken in de x-, y- en z-richting, ε_x, ε_y en ε_z, als volgt berekend worden:

ε_x = σ_x/E − νσ_y/E − νσ_z/E

ε_y = −νσ_x/E + σ_y/E − νσ_z/E

ε_z = −νσ_x/E − νσ_y/E + σ_z/E

Glijdingen in een richting zijn een gevolg enkel van schuifspanningen aangebracht in die richting:

γ_xy = τ_xy/G

γ_yz = τ_yz/G

γ_zx = τ_zx/G

Deze eenvoudige formules gelden enkel voor isotrope materialen, materialen waarvan de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn.

[bewerk] Verband tussen de E, G en ν

De elasticiteitsmodulus, de glijdingsmodulus en de poissonmodulus zijn met volgende formule verbonden:

[bewerk] Voorbeeld: drukvat

Drukvaten zijn dunwandige containers die een gas of vloeistof op hoge druk bevatten. In dit voorbeeld zoeken we de spanning σ, die ontstaan wanneer het vat onder druk gebracht wordt. We nemen een dunwandig drukvat, omdat het dan aanvaardbaar is te veronderstellen dat de wandspanningen constant zijn over de wanddikte. Dit resulteert in eenvoudige vergelijkingen om de spanningen uit te rekenen.

Veronderstel een cilindrisch vat, aan beide zijden afgesloten, met straal r, wanddikte t en druk p.

Voor de axiale spanning:

Voor de radiale spanning:

Is het vat aan de uiteinden open, dan is uiteraard de axiale spanning gelijk aan nul.

In praktijk is de berekening ingewikkelder, dan wil men namelijk dat de dikte van het drukvat groter is dan de grootte van de scheur die zal optreden, zodat het plots bezwijken van het drukvat vermeden wordt.

[bewerk] Torsion

Afbeelding:Torsion Solid Mechanics.png

Torsion acting on a long bar tends to twist it in the direction of the torque. The analysis is performed on a section perpendicular to the axis, and the sum of the internal resisting torque is set equal to the external torque acting on the system. The following assumptions will be made for the bars studied in this chapter:

1. Plane sections remain plain after the torque is applied.
2. The shear strain γ varies linearly in the radial direction.
3. The material is linearly elastic, so that Hooke's law applies.

[bewerk] Torsion Formula

We want to find the maximum shear stress τ_max which occurs in a circular shaft of radius c due to the application of a torque T. Using the assumptions above, we have, at any point r inside the shaft, the shear stress is τ_r = r/c τ_max.

∫τ_rdA r = T

∫ r²/c τ_max dA = T

τ_max/c∫r² dA = T

Now, we know,

J = ∫ r² dA

is the polar moment of intertia of the cross sectional area..

Thus, the maximum shear stress

τ_max = Tc/J

The above equation is called the torsion formula.

Now, for a solid circular shaft, we have,

J = πc⁴/2

Further, for any point at distance r from the center of the shaft, we have, the shear stress τ is given by

τ = Tr/J

We only consider the torsional loading of circular shafts in this analysis. Circular shafts are most commonly used as torque carrying members in machinery with rotating parts (like drive shafts of motors). This is fortuitous, as the analysis of non circular members under torsion is not simple to perform analytically.

[bewerk] Angle of Twist

Afbeelding:Torsion twist Solid Mechanics.png

The above image shows the twist of a shafted acted upon by a torque T at one end. We know that the shear angle γ is given by

γ = τ/G

For a shaft of radius c, we have

φ c = γ L

where L is the length of the shaft. Now, τ is given by

τ = Tc/J

so that

φ = TL/GJ

The angle of twist φ for a circular shaft acted upon by a torque T_x at a point x along its axis is given by:

where J_x is the moment at section x. Note that you can use the torsion formula for shafts with slowly varying area as long as they are circular.

[bewerk] Spanningen

[bewerk] Hoofdspanningen

The general state of stress can be represented by a symmetric 3 x 3 matrix.

It is always possible to choose a coordinate system such that all shear stresses are zero. The 3 x 3 matrix is then diagonalised, with the three principal stresses on the diagonal, and all other components equal to zero. The three principal stresses are conventionally labelled σ₁, σ₂ and σ₃.
σ₁ is the maximum (most tensile) principal stress, σ₃ is the minimum (most compressive) principal stress, and σ₂ is the intermediate principal stress.

[bewerk] Stress Invariants

I₁ = σ₁ + σ₂ + σ₃

I₂ = σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁

I₃ = σ₁σ₂σ₃

[bewerk] Hydrostatic Stress

The so-called hydrostatic stress, σ_h, is given by:

[bewerk] Deviatoric Stresses

[bewerk] Mohr's Circle

Consider the two dimensional stress condition where the stresses are σ_x, σ_y, and τ_xy. We have, for another set of orthogonal axes x'-y' at angle θ with x-y, the stresses are

From the above equations, we can see that for any stress states given by σ_x, σ_y, and τ_xy, we can find a value of θ such that the value of σ_x' is maximum. This value is called the principal stress σ₁ (for maximum) or σ₂ (for minimum).

The principal stresses are given by

and the maximum shear stress is given by

τ_max = (σ₁ − σ₂)/2

From the definitions for σ_x' and τ_x'y', we have

In the σ-τ graph, this is a circle with center on the x axis, and the distance of the center from the origin is given by (σ_x + σ_y)/2 and a radius given by

This circle is known as Mohr's circle, and is useful for visualizing the stress state at a point.

Afbeelding:Mohrscircle Solid Mechanics.png

The above figure shows Mohr's circle for a stress state (σ, τ). The center and radius of the circle are obtained from equations stated above. The other stress σ_y can be read off by the point diametrically opposite the (σ, τ) point. The stress at any plane can be found using simple geometrical constructs.

[bewerk] Mohr's Circle for Common Cases

Afbeelding:Mohrs tensile Solid Mechanics.png

The above shear stress in this case is σ₁/2.

Afbeelding:Mohrs liquid Solid Mechanics.png

A liquid is one which by definition cannot take a shear. Thus the Mohr-circle diagram is just a point.

Afbeelding:Mohrs shear Solid Mechanics.png

For pure shear, the Mohr circle is centered at the origin.

[bewerk] Failure Criteria

In the case of isotropic materials, the state of stress at any point of the body is completely defined by the triad of the principal stresses. Now that we are able to transform stresses to get the principal stresses, we can use these stresses to consider some of the criteria (theories) postulated for the failure of materials in two- and three-axial states of stress usually based on experiments on yielding and fracture of materials in the uniaxial state of stress. According to such experiments, the kind of failure depends on the type of material. Failure of ductile materials (most of metals) occurs when the elastic limit is reached and yielding commences. Failure of non-ductile materials (e.g., cast iron, concrete) occurs by brittle fracture.

[bewerk] Maximum Shear Stress Criterion

For ductile materials, one failure theory is that of maximum shear stress. We know that the maximum shear stress is given by τ_max = (σ₁ − σ₂)/2. The yield stress, σ_y can be determined by uniaxial tensile tests. Thus, if the maximum shear stress theory is valid, failure occurs when the maximum shear stress reaches σ_y/2.

Afbeelding:Tresca Solid Mechanics.png

In the above image, the material will fail if the stress state is outside the shaded region.

[bewerk] Maximum Distortion Energy Criterion

Afbeelding:Vonmises Solid Mechanics.png

[bewerk] Failure of Materials

The actual failure mode of each material is unique, though certain criteria can be applied to classes of materials.

De wijzigingen aan deze pagina van voor 15 april 2007 vallen alléén onder de GFDL, en niet onder de CC-BY-SA-licentie. U kunt de inhoud van deze pagina dan ook alleen onder de voorwaarden van de GFDL (her)gebruiken. Niet alle bijdragers van voor 15 april 2007 hebben hun werk vrijgegeven onder de dubbellicentie GFDL&CC-BY-SA. Kijk hier voor meer informatie. Lijst van gebruikers die hun wijzigingen niet hebben vrijgegeven onder beide licenties