Lineaire algebra/Inleiding lineaire combinaties

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Deze pagina gaat over het begrip 'lineaire combinaties'. Aan de hand van voorbeelden wordt hier een duidelijk beeld van gegeven. Er wordt hier uitgegaan van enige voorkennis in de lineaire algebra. Voor meer achtergrond informatie of informatie over vectoren zie: Vectormeetkunde.

[bewerk] Lineaire combinaties?

[bewerk] 1. Wat is een lineaire combinatie?

Een lineaire combinatie van twee of meer vectoren is een vector die de som is van veelvouden van de samenstellende vectoren.
Neem de vector A en een getal k\in R; vemenigvuldig A met k en er zal een nieuwe vector kA = B uitkomen . In dat geval is de vector B een veelvoud van de vector A.
B = kA (k\in \R).

Als mC een veelvoud is van de vector C, dan kunnen we de lineaire combinatie

kA+mC (k,m\in \R)

vormen. Ook van drie vectoren A, B en C kunnen we een lineaire combinatie vormen:

kA+lB+mC (k,l,m\in \R) enz.


2. Voorbeelden van één vector

Voorbeeld 1:
Neem vector A: \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}. Wat zijn de lineaire combinaties van vector A?
X = k * A <=> k*\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=X. We weten nu dat X voor iedere k altijd de matrix \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} zal aannemen. k*\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.
De oplossing is dus: De lineaire combinaties van vector A := \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} zijn de vectoren k*\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}, k \in \R = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.
Voorbeeld 2:
Neem de vector B: \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} Wat zijn de lineaire combinaties van vector B?
X = k * B <=> k*\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=X.
De oplossing is dus: De lineaire combinaties van vector B := \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} zijn dus de vectoren k*\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}.
Voorbeelden van lineaire combinaties van \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} zijn dus bijvoorbeeld \begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix} maar ook \begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}, k\in \R


3. Voorbeelden van meerdere vectoren

Het is ook mogelijk van meerdere vectoren de lineaire combinaties te bepalen.

Neem vector C: \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} en D: \begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}. Wat zijn de lineaire combinaties van deze twee vectoren?

X = k * C + l * D <=> k*\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} + l*\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}=X.
De oplossing is dus: De lineaire combinaties van vector C en D zijn dus de vectoren k*\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} + l*\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}, k\in \R.

4. Belangrijk! Van twee of meer vectoren, die veelvouden van elkaar zijn, is er geen lineaire combinatie mogelijk.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Aspecten/acties
Persoonlijke instellingen