Fourieranalyse/Fourierreeks

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Is er een systematische manier om een periodieke functie f (voor het gemak kiezen we de periode 2π) te benaderen door een goniometrische reeks, dwz. een reeks van de vorm:

\,\tilde{f}(x)=a_0+a_1\cos(x)+b_1 \sin(x)+a_2\cos(2x)+b_2 \sin(2x)+...=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx)).

We zullen er van uitgaan dat de functie f integreerbaar is.

De coëfficiënten zijn bepaald door de eis dat de afstand

\,\|f-\tilde{f}\| = \sqrt{\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (f(x)-\tilde{f}(x))^2 dx }

tussen f en de reeks zo klein mogelijk is.

Deze norm is geïnduceerd door het inproduct:

\langle f,g \rangle = \frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx\, .

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

[bewerk] Orthogonaliteit

Voor m, n = 1, 2, ... geldt:

(de constante functie is orthogonaal met sinussen en cosinussen)

\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)dx=0\,
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx=0\,

(verschillende sinussen zijn onderling orthogonaal)

\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{matrix}\frac 12\end{matrix}\delta_{mn}\,

(verschillende cosinussen zijn onderling orthogonaal)

\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=\begin{matrix}\frac 12\end{matrix}\delta_{mn}\,

(sinussen en cosinussen zijn onderling orthogonaal)

\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)dx=0\,

[bewerk] Orthogonale projectie

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

a_0 = \langle f,1 \rangle = \frac 1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \,

en voor n>0:

a_n=\frac{\langle f,\cos(nx)\rangle}{\langle \cos(nx),\cos(nx)\rangle}=2\langle f, \cos(nx) \rangle = \frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx

en analoog:

b_n=\frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)dx\,

[bewerk] Fourierreeks

De reeks met boven gedefinieerde coëfficiënten heet de fourierreeks van de functie f.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Aspecten/acties
Persoonlijke instellingen