Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Eigenschappen van verwachtingswaarde

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

[bewerken] 6.4 Eigenschappen van verwachtingswaarde

In de vorige paragraaf hebben we in voorbeeld 2 gezien dat de verwachtingswaarde van de som van twee s.v.-en gelijk is aan de som van de verwachtingswaarden van elk. De volgende stelling laat zien dat deze relatie algemeen geldt en geeft tevens een aantal andere eigenschappen van verwachtingswaarden.

Stelling 6.4.1 (eigenschappen van verwachtingswaarde)
Laat X en Y s.v.-en zijn met een simultane verdeling, dan geldt:

(a) E(X + Y) = EX + EY,
(b) E(aX + b) = aEX + b, voor alle a,b ∈ R,
(c) als X en Y o.o. zijn, dan is EXY = EX.EY.

Bewijs:

(a)

E(X + Y) = \sum_{x\in S_X}\sum_{y\in S_Y} (x + y).P(X=x\ en\ Y=y) =
= \sum \sum x.P(X= x\ en\ Y=y) + \sum \sum y.P(X=x\ en\ Y=y) = EX + EY.

(Merk op dat we hier zowel x + y als x en y opvatten als functie van (x,y) en drie keer stelling 6.3.1 toepassen.)

(b)

E(aX + b) = \sum_{x\in S_X} (ax+b)P(X=x) = \sum axP(X= x) + \sum bP(X=x) =
= a \sum xP(X=x) + b \sum P(X=x) = aEX + b.

(c)

EXY = \sum_{x\in S_X}\sum_{y\in S_Y} xyP(X=x\ en\ Y=y) = \sum \sum xyP(X=x)P(Y=y) =
=\sum_{x\in S_X} xP(X=x).\sum_{y\in S_Y} yP(Y=y) = EX.EY.

Met behulp van de voorgaande stelling kunnen we op eenvoudige wijze de verwachting van de binomiale verdeling en van de hypergeometrische verdeling bepalen.

Voorbeeld 1
Zij X B(n,p)-verdeeld. Bekijk n onafhankelijke alternatieven Xi met succeskans p, dus P(Xi= 1) = 1 - P(Xi= 0) = p. We stellen

Y = \sum_{i=1}^n X_i,

dan hebben X en Y dezelfde verdeling en dus ook dezelfde verwachting. We vinden dan:

EX = EY = \sum_{i=1}^n EX_i = \sum_{i=1}^n p = np.

Voorbeeld 2
Zij X hypergeometrisch verdeeld met parameters M, N en n. We beschouwen een aselecte steekproef van omvang n zonder teruglegging uit een vaas met M rode en N-M witte knikkers. We definiëren Xi = 1 of 0 al naar gelang de ie trekking een rode dan wel een witte knikker oplevert. Dan vormen de (Xi) weer n alternatieven met parameter p = M/N. We stellen

Y = \sum_{i=1}^n X_i,

dan hebben X en Y dezelfde verdeling en dus dezelfde verwachting. We vinden dan:

EX = EY = \sum_{i=1}^n EX_i = \sum_{i=1}^n p = np.

Merk op dat de s.v.-en X1,...,Xn in dit geval niet o.o. zijn.

 

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen