Analyse/Functies

Uit Wikibooks
Ga naar: navigatie, zoek

Nota Bene! Aan dit hoofdstuk wordt nu actief gewerkt. Wat U hier nu vindt is dan ook niet af, onbetrouwbaar, incompleet, etc. Robert Zboray 25 jan 2006 02:24 (UTC)

Inleiding[bewerken]

Domein en bereik[bewerken]

Notatie[bewerken]

De volgende tabel geeft de verschillende notaties van intervallen van reële getallen:

Betekenis Interval notatie Set notatie
alle getallen groter dan of gelijk aan a en kleiner dan of gelijk aan b \left[a,b\right] \left\{x:a\le x\le b\right\}
alle getallen groter dan a en kleiner dan b \left(a,b\right) \left\{x:a < x < b\right\}
alle getallen groter dan of gelijk aan a en kleiner dan b \left[a,b\right) \left\{x:a\le x < b\right\}
alle getallen groter dan a en kleiner dan of gelijk aan b \left(a,b\right] \left\{x:a < x\le b\right\}
alle getallen groter dan of gelijk aan a \left[a,\infty\right) \left\{x:x\ge a\right\}
alle getallen groter dan a \left(a,\infty\right) \left\{x:x > a\right\}
alle getallen kleiner dan of gelijk aan a \left(-\infty,a\right] \left\{x:x\le a\right\}
alle getallen kleiner dan a \left(-\infty,a\right) \left\{x:x < a\right\}
alle getallen \left(-\infty,\infty\right) \left\{x: x\in\mathbb{R}\right\}

Er zijn alternatieve notaties in gebruik. Zo wordt i.p.v. een ronde haak ( of ) ook wel < resp. > geschreven of de omgekeerde rechte haken, dus: <a,b> of ]a,b[ voor (a,b) en [a,b> of [a,b[ voor {a,b). Bij dit gebruik wordt ook vaak een pijltje geschreven i.p.v. ∞, dus: [a,→> voor [a,∞) en <←,a> voor (-∞,a).

Een verzameling getallen kan worden weergegeven door middel van accolades. Zo wordt de verzameling die bestaat uit de getallen 1, 2 en 3, weergegeven als {1,2,3}.

Enkele getalverzamelingen spelen een belangrijke rol en hebben een eigen naam:

  • \mathbb{N}: De verzameling van de natuurlijke getallen, ofwel alle gehele getallen groter dan of gelijk aan 0.
  • \mathbb{Z}: De verzameling van de gehele getallen.
  • \mathbb{Q}: De verzameling van de rationele getallen, ofwel alle getallen die kunnen worden geschreven als een breuk van twee gehele getallen.
  • \mathbb{R}: De verzameling van de reële getallen. Deze verzameling bevat alle rationele getallen en alle irrationele getallen, zoals \sqrt{2}\!.

In het volgende maken we gebruik van het exclusie-teken, \ (backslash). De uitdrukking \mathbb{R}{\setminus\{0,1\}} betekent: de verzameling van alle elementen van \mathbb{R} behalve 0 en 1.

Domein[bewerken]

Het domein van een functie f is de verzameling van alle originelen (invoerwaarden) x waarvoor een beeld f(x) is gedefiniëerd.

Het domein van de functie f:\mathbb{R}{\setminus \{0\}} \mapsto \mathbb{R} met het functievoorschrift f(x) = 1/x bestaat uit alle reële getallen, behalve 0.

Bereik[bewerken]

Het bereik van een functie f is de verzameling van alle mogelijke beelden die f kan aannemen op het gegeven domein.

De formele definitie van het bereik van een functie f : A \mapsto B is:

\operatorname{range}(f)=\operatorname{lm}(f)=f[A]=\{f(x)|x \in A\}


Injectiviteit en surjunctiviteit[bewerken]

Waar gebruiken we functies[bewerken]

functie rekenregels[bewerken]

Voorbeelden[bewerken]

\lim_{x \to p} c = c


\lim_{x \to p} x = p
\lim_{x \to 0} \sin x = 0
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0
\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}{\rm d}x\ = 1

Bewijzen[bewerken]

Definities[bewerken]

Bronnen[bewerken]

Calculus Tom M. Apostol ISBN 0471000051

Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.