Analyse/Functies

Nota Bene! Aan dit hoofdstuk wordt nu actief gewerkt. Wat U hier nu vindt is dan ook niet af, onbetrouwbaar, incompleet, etc. Robert Zboray 25 jan 2006 02:24 (UTC)

Inleiding

Domein en bereik

Notatie

De volgende tabel geeft de verschillende notaties van intervallen van reële getallen:

Betekenis	Interval notatie	Set notatie
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$ en kleiner dan of gelijk aan $b$	$\left[a,b\right]$	$\left\{x:a\leq x\leq b\right\}$
alle getallen groter dan $a$ en kleiner dan $b$	$\left(a,b\right)$	$\left\{x:a<x<b\right\}$
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$ en kleiner dan $b$	$\left[a,b\right)$	$\left\{x:a\leq x<b\right\}$
alle getallen groter dan $a$ en kleiner dan of gelijk aan $b$	$\left(a,b\right]$	$\left\{x:a<x\leq b\right\}$
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$	$\left[a,\infty \right)$	$\left\{x:x\geq a\right\}$
alle getallen groter dan $a$	$\left(a,\infty \right)$	$\left\{x:x>a\right\}$
alle getallen kleiner dan of gelijk aan $a$	$\left(-\infty ,a\right]$	$\left\{x:x\leq a\right\}$
alle getallen kleiner dan $a$	$\left(-\infty ,a\right)$	$\left\{x:x<a\right\}$
alle getallen	$\left(-\infty ,\infty \right)$	$\left\{x:x\in \mathbb {R} \right\}$

Er zijn alternatieve notaties in gebruik. Zo wordt i.p.v. een ronde haak ( of ) ook wel < resp. > geschreven of de omgekeerde rechte haken, dus: <a,b> of ]a,b[ voor (a,b) en [a,b> of [a,b[ voor {a,b). Bij dit gebruik wordt ook vaak een pijltje geschreven i.p.v. ∞, dus: [a,→> voor [a,∞) en <←,a> voor (-∞,a).

Een verzameling getallen kan worden weergegeven door middel van accolades. Zo wordt de verzameling die bestaat uit de getallen 1, 2 en 3, weergegeven als {1,2,3}.

Enkele getalverzamelingen spelen een belangrijke rol en hebben een eigen naam:

• $\mathbb {N}$: De verzameling van de natuurlijke getallen, ofwel alle gehele getallen groter dan of gelijk aan 0.
• $\mathbb {Z}$: De verzameling van de gehele getallen.
• $\mathbb {Q}$: De verzameling van de rationele getallen, ofwel alle getallen die kunnen worden geschreven als een breuk van twee gehele getallen.
• $\mathbb {R}$: De verzameling van de reële getallen. Deze verzameling bevat alle rationele getallen en alle irrationele getallen, zoals ${\sqrt {2}}\!$.

In het volgende maken we gebruik van het exclusie-teken, \ (backslash). De uitdrukking $\mathbb {R} {\setminus \{0,1\}}$ betekent: de verzameling van alle elementen van $\mathbb {R}$ behalve 0 en 1.

Domein

Het domein van een functie $f$ is de verzameling van alle originelen (invoerwaarden) $x$ waarvoor een beeld $f(x)$ is gedefiniëerd.

Het domein van de functie $f:\mathbb {R} {\setminus \{0\}}\mapsto \mathbb {R}$ met het functievoorschrift $f(x)=1/x$ bestaat uit alle reële getallen, behalve 0.

Bereik

Het bereik van een functie $f$ is de verzameling van alle mogelijke beelden die $f$ kan aannemen op het gegeven domein.

De formele definitie van het bereik van een functie $f:A\mapsto B$ is:

$\operatorname {range} (f)=\operatorname {lm} (f)=f[A]=\{f(x)|x\in A\}$

Voorbeelden

$\lim _{x\to p}c=c$

$\lim _{x\to p}x=p$

$\lim _{x\to 0}\sin x=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$\lim _{x\to \infty }e^{-x}=0$

$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\rm {d}}x\ =1$

Bronnen

Calculus Tom M. Apostol ISBN: 0471000051