Analyse/Functies

Nota Bene! Aan dit hoofdstuk wordt nu actief gewerkt. Wat U hier nu vindt is dan ook niet af, onbetrouwbaar, incompleet, etc. Robert Zboray 25 jan 2006 02:24 (UTC)

Inleiding

Domein en bereik

Notatie

De volgende tabel geeft de verschillende notaties van intervallen van reële getallen:

Betekenis	Interval notatie	Set notatie
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$ en kleiner dan of gelijk aan $b$	$\left[a,b\right]$	$\left\{x:a\le x\le b\right\}$
alle getallen groter dan $a$ en kleiner dan $b$	$\left(a,b\right)$	$\left\{x:a < x < b\right\}$
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$ en kleiner dan $b$	$\left[a,b\right)$	$\left\{x:a\le x < b\right\}$
alle getallen groter dan $a$ en kleiner dan of gelijk aan $b$	$\left(a,b\right]$	$\left\{x:a < x\le b\right\}$
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$	$\left[a,\infty\right)$	$\left\{x:x\ge a\right\}$
alle getallen groter dan $a$	$\left(a,\infty\right)$	$\left\{x:x > a\right\}$
alle getallen kleiner dan of gelijk aan $a$	$\left(-\infty,a\right]$	$\left\{x:x\le a\right\}$
alle getallen kleiner dan $a$	$\left(-\infty,a\right)$	$\left\{x:x < a\right\}$
alle getallen	$\left(-\infty,\infty\right)$	$\left\{x: x\in\mathbb{R}\right\}$

Er zijn alternatieve notaties in gebruik. Zo wordt i.p.v. een ronde haak ( of ) ook wel < resp. > geschreven of de omgekeerde rechte haken, dus: <a,b> of ]a,b[ voor (a,b) en [a,b> of [a,b[ voor {a,b). Bij dit gebruik wordt ook vaak een pijltje geschreven i.p.v. ∞, dus: [a,→> voor [a,∞) en <←,a> voor (-∞,a).

Een verzameling getallen kan worden weergegeven door middel van accolades. Zo wordt de verzameling die bestaat uit de getallen 1, 2 en 3, weergegeven als {1,2,3}.

Enkele getalverzamelingen spelen een belangrijke rol en hebben een eigen naam:

• $\mathbb{N}$: De verzameling van de natuurlijke getallen, ofwel alle gehele getallen groter dan of gelijk aan 0.
• $\mathbb{Z}$: De verzameling van de gehele getallen.
• $\mathbb{Q}$: De verzameling van de rationele getallen, ofwel alle getallen die kunnen worden geschreven als een breuk van twee gehele getallen.
• $\mathbb{R}$: De verzameling van de reële getallen. Deze verzameling bevat alle rationele getallen en alle irrationele getallen, zoals $\sqrt{2}\!$.

In het volgende maken we gebruik van het exclusie-teken, \ (backslash). De uitdrukking $\mathbb{R}{\setminus\{0,1\}}$ betekent: de verzameling van alle elementen van $\mathbb{R}$ behalve 0 en 1.

Domein

Het domein van een functie $f$ is de verzameling van alle originelen (invoerwaarden) $x$ waarvoor een beeld $f(x)$ is gedefiniëerd.

Het domein van de functie $f:\mathbb{R}{\setminus \{0\}} \mapsto \mathbb{R}$ met het functievoorschrift $f(x) = 1/x$ bestaat uit alle reële getallen, behalve 0.

Bereik

Het bereik van een functie $f$ is de verzameling van alle mogelijke beelden die $f$ kan aannemen op het gegeven domein.

De formele definitie van het bereik van een functie $f : A \mapsto B$ is:

$\operatorname{range}(f)=\operatorname{lm}(f)=f[A]=\{f(x)|x \in A\}$

Voorbeelden

$\lim_{x \to p} c = c$

$\lim_{x \to p} x = p$

$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$

$\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}{\rm d}x\ = 1$

Bronnen

Calculus Tom M. Apostol ISBN 0471000051

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie. Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie? Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.