Analyse/Differentiatie toepassingen

Uit Wikibooks

Nota bene: Aan dit artikel wordt momenteel nog hard gewerkt.

[bewerken] Extreme Waarden

De functie x³-3x²+2 (blauw) en haar eerste afgeleide (rood).

In de afbeelding hiernaast is weergegeven:

• De functie f(x) = x³ − 3x² + 2 (blauw).
• Haar eerste afgeleide: f'(x) = 3x² − 6x (rood).

In de blauwe grafiek zijn twee extreme waarden (ook: toppen) te zien: een maximum aan de linkerkant en een minimum aan de rechterkant. De x-waarden van deze extremen zijn te bepalen met behulp van de eerste afgeleide, door deze afgeleide gelijk te stellen aan 0:

Deze vergelijking is met behulp van de wortelformule op te lossen voor x:

De x-coördinaten van de toppen van de grafiek zijn dus 0 en 2. Door deze waarden in te vullen in f is het mogelijk de exacte coördinaten van de toppen van de grafiek te bepalen. Deze zijn: (0,2) en (2,-2).

[bewerken] Een Raakpunt Bepalen

De grafieken van de formules f(x) en g(x) raken elkaar in een punt als geldt:

[bewerken] Toepassing van het Raakpunt (I)

Gegeven is de functie f(x) = x − ln(x). Bepaal alle a, waarvoor geldt dat f(x) = ax − 1 geen oplossingen heeft.

Wanneer je de grafiek van f bekijkt, blijkt dat er een waarde van a bestaat, zodat de vergelijking juist één oplossing heeft. Dit is het punt waarin de grafiek van f juist raakt aan de lijn ax − 1. Er valt op, dat voor kleinere a, dus een minder stijle lijn, de vergelijking geen oplossing heeft, terwijl voor grotere a de vergelijking altijd tenminste één oplossing heeft.

We kunnen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen door gebruik te maken van bovenstaande regel:

Dit levert het volgende stelsel van vergelijkingen:

Oplossen van dit stelsel levert x = e².

In dit punt geldt dat f'(x) = a, dus .

De vergelijking f(x) = ax − 1 heeft dus geen oplossingen voor .

Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie. Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie? Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.