Analyse/Differentiatie

Uit Wikibooks

Ga naar: navigatie, zoek

Inhoud

[bewerken] Afgeleide van een Constante

Voor iedere constante c geldt dat de afgeleide c' = 0:

f(x) = c \quad geeft \quad f'(x) = 0\!

[bewerken] Bewijs

\begin{align} f'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{c - c}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{0}{\Delta x} \\ & = 0 & \Box \end{align}

[bewerken] Afgeleide van een Machtsfunctie

Voor iedere functie g(x) = ax^n (n\in\mathbb{R}) geldt:

g'(x) = nax^{n-1}\!

[bewerken] Bewijs

Voor gehele, positieve n:

Voor dit bewijs gebruiken we het Binomium van Newton:

\begin{align} g'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a(x + \Delta x)^n - ax^n}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a\Big(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k(\Delta x)^{n-k}\Big) - ax^n}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}a\frac{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k(\Delta x)^{n-k} - x^n}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}a\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^k(\Delta x)^{n-k}}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}a\Big(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^k(\Delta x)^{n-k-1}\Big) \\ & = a\binom{n}{n-1}x^{n-1} \\ & = anx^{n-1} & \Box \end{align}

Voor elke n \in \mathbb{R}:

Nog niet geplaatst.

[bewerken] Afgeleide van een Exponentiële Functie

f(x) = a^x \quad geeft \quad f'(x) = a^x \cdot \ln(a)

Vaak wordt de afgeleide van ex (ook: exp(x)) apart vermeld:

g(x) = e^x \quad geeft \quad g'(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x

[bewerken] Bewijs

\begin{align} f'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}a^x\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \\ & = a^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \\ & = a^x \cdot \ln(a) & \Box \end{align}

[bewerken] Somregel

h(x) = f(x) + g(x) \quad geeft \quad h'(x) = f'(x) + g'(x)

[bewerken] Bewijs

Als h(x) = f(x) + g(x), dan geldt:

\begin{align} h'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Big(f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x)\Big) - \Big(f(x) + g(x)\Big)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) - f(x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x) + g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right) \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = f'(x) + g'(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Productregel

h(x) = f(x) \cdot g(x) \quad geeft \quad h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[bewerken] Bewijs

Als h(x) = f(x) \cdot g(x), dan geldt:

\begin{align} h'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x + \Delta x) + f(x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x} + \frac{f(x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}\right) \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}g(x + \Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0}f(x)\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Kettingregel

f(x) = g(h(x)) \quad geeft \quad f'(x) = g'(h(x))h'(x)

[bewerken] Bewijs

(g \circ h)'(x) ~ = \lim_{x_0 \rightarrow x} {(g \circ h)(x) - (g \circ h)(x_0) \over x - x_0}

= \lim_{x_0 \rightarrow x} {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over x - x_0}
= \lim_{x_0 \rightarrow x} \left [ {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0)} \cdot {h(x) - h(x_0) \over x - x_0}\right ]
= \lim_{x_0 \rightarrow x} {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0)} \cdot \lim_{x_0 \rightarrow x} {h(x) - h(x_0) \over x - x_0}
=g'(h(x)) \cdot h'(x)

[bewerken] Quotiëntregel

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad geeft \quad f'(x) = \frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2}

[bewerken] Bewijs

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x)\Big(h(x)\Big)^{-1}

Hierop kunnen de product- en de kettingregel worden toegepast:

\begin{align} f'(x) & = g'(x)\Big(h(x)\Big)^{-1} + g(x)\bigg[\Big(h(x)\Big)^{-1}\bigg]' \\ & = g'(x)\Big(h(x)\Big)^{-1} + g(x)\bigg(-\Big(h(x)\Big)^{-2} \cdot h'(x)\bigg) \\ & = g'(x)\Big(h(x)\Big)^{-1} - g(x)h'(x)\Big(h(x)\Big)^{-2} \\ & = \frac{h(x)g'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2} - \frac{g(x)h'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2} \\ & = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{\Big(h(x)\Big)^2} & \Box \end{align}

[bewerken] Afgeleiden Trigonometrische Functies

[bewerken] Sinus

f(x) = \sin(x) \quad geeft \quad f'(x) = \cos(x)

[bewerken] Bewijs

\begin{align} f'(x) & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \cos(x)\sin({\Delta x}) - \sin(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\ & = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{cos(\Delta x)-1}{\Delta x} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\ & = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Big(\cos(\Delta x)-1\Big)\Big(\cos(\Delta x)+1\Big)}{\Delta x \Big(\cos(\Delta x)+1\Big)} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\ & = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Big(\cos^2(\Delta x)-1\Big)}{\Delta x\Big(\cos(\Delta x)+1\Big)} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\ & = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x\Big(\cos(\Delta x)+1\Big)} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\ & = \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0}-\sin(\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\cos(\Delta x)+1} + \cos(x)\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \\ & = \sin(x) \cdot 0 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + \cos(x) \cdot 1 \\ & = \cos(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Cosinus

f(x) = \cos(x) \quad geeft \quad f'(x) = -\sin(x)

[bewerken] Bewijs

Voor dit bewijs maken we gebruik van de kettingregel, de afgeleide van de sinus en de regel dat \cos(x) = \sin(\tfrac{1}{2}\pi - x).

Substitueer eerst u = \tfrac{1}{2}\pi - x. Dan geldt:

\begin{align} f'(x) & = \frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}u}\cdot\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} \\ & = [\sin(u)]' \cdot [u]'\\ & = [\sin(u)]' \cdot [\tfrac{1}{2}\pi - x]' \\ & = \cos(u) \cdot -1 \\ & = -\cos(u) \\ & = -\cos(\tfrac{1}{2}\pi - x) \\ & = -\sin(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Tangens

f(x) = \tan(x) \quad geeft \quad f'(x) = \sec^2(x)

[bewerken] Bewijs

We gebruiken bij dit bewijs dat \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

\begin{align} f'(x) & = [\tan(x)]' \\ & = \bigg[\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\bigg]' \\ & = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot -\sin(x)}{cos^2(x)} \\ & = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{cos^2(x)} \\ & = \frac{1}{cos^2(x)} \\ & = \bigg(\frac{1}{\cos(x)}\bigg)^2 \\ & = \sec^2(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Secans

f(x) = \sec(x) \quad geeft \quad f'(x) = \sec(x)\tan(x).

[bewerken] Bewijs

We gebruiken bij dit bewijs dat \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} en dat \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

\begin{align} f'(x) & = [\sec(x)]' \\ & = \bigg[\frac{1}{\cos(x)}\bigg]' \\ & = \frac{\cos(x) \cdot 0 - 1 \cdot -\sin(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ & = \sec(x)\tan(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Cosecans

f(x) = \csc(x) \quad geeft \quad f'(x) = -\cot(x)\csc(x)

[bewerken] Bewijs

We gebruiken bij dit bewijs dat \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} en dat \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}. Ook gebruiken we de quotiëntregel.

\begin{align} f'(x) & = [\csc(x)]' \\ & = \bigg[\frac{1}{\sin(x)}\bigg]' \\ & = \frac{\sin(x) \cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} \\ & = \frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)} \\ & = -\frac{cos(x)}{sin(x)} \cdot \frac{1}{\sin(x)} \\ & = -\cot(x)\csc(x) & \Box \end{align}

[bewerken] Voorbeelden

Somregel:

f(x) = 3x^3 + 2x + 4 \quad geeft \quad f'(x) = 9x^2 + 2

Productregel:

c \cdot f(x) \quad geeft \quad \frac{\textrm{d}\Big(c \cdot f(x)\Big)}{\textrm{d}x} = c \cdot f'(x) + c' \cdot f(x) = c \cdot f'(x)
Heckert GNU.png Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.

Wilt u deze tekst gebruiken onder de Creative Commons CC-BY-SA licentie?
Klik dan hier om te kijken van welke gebruikers u nog toestemming nodig heeft.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.
Persoonlijke instellingen